《中国大百科全书（第2版）》读书笔记6445-初等数论

初等数论元素数

数论中用初等方法研究数论问题的分支。

初等方法包括算术、代数、组合、几何和最简单的分析方法。

狭义地讲，初等数论是由这一分支形成的特有的基本思想、概念、方法和理论，它是数论的基础，主要内容包括整除理论、同余理论、算术函数理论、不定方程、素数分布、连分数和丢番图逼近等方面的初等理论。

直到18世纪，研究整数的方法还是初等的。

随着现代计算机和数学中离散化方法的发展和应用，初等数论越来越显示出其基础性的重要性，在计算机科学、信息科学、组合分析、密码学、计算数学等领域得到广泛的应用。

中国古代的商高(约公元前1100 )和古希腊的毕达哥拉斯(约公元前6世纪)学派对方程式进行了研究。

毕达哥拉斯学派已有素数、合数的概念，讨论多边数、完全数、亲和数等，他们对整数的研究与图形紧密联系在一起。

古希腊亚历山大时代的欧几里得(约公元前300 )，在其名作《几何原本》中，系统地整理了前人和他自己关于整数性质的研究成果，基本上包含了割裂的理论内容，成为后来数论学家医学科的指导。

书中包括求两个整数最大公约数公式的方法，现称欧几里得算法； 算术基本定理； 质数有无限的证明。

埃拉特斯梯尼(约公元前250年)提出了寻找素数的有效方法。

丢番图(约3世纪)在名作《算术》中求解了许多具体的不定方程，他的创造性和智慧对今后数论的研究起到了重要的推动作用。

中国数书《孙子算经》 (约5世纪)、《张丘建算经》 (约5世纪)的“百鸡问题”、秦九韶的大衍求一术等都是初等数论的重要贡献。

对数论起了较大推动作用的是P.de费马。

他以无比的数学直觉提出了数论中许多极其重要的命题。

然而，只有一个命题给出了概括性的证明，一个猜想是错误的，其他的没有被证明，但他的工作决定了高斯以前数论研究的面貌，除了著名的费马大定理，其他命题在18世纪得到了严格的证明。

之后，对数论做出贡献的是l .欧拉、J.-L .拉格朗日、A.-M .勒让德。

勒让德写的《数论随笔，1789》总结了当时所有的成果，基本上包含了初等数论的全部内容。

数论这个名称也来自于此。

高斯于1801年发表的名作《算术研究》是数论发展史上的一个里程碑。

引入了同余的概念和符号，建立了同余理论，整理了数论中孤立的结果，给出了标准符号和严格的证明，形成了完整的体系。

从那以后，初等数论本身的内容完全固定下来了。

同余理论的主要内容有：剩余系统的结构和一阶同余方程理论。

主要包括费马欧拉定理、威尔逊定理、孙子定理和(m )公式。

二次剩余理论。

设p为奇素数，设a，p=1。

根据二次同余方程有无解，称a是模p的二次剩余或二次剩余。

勒让德用符号刻画了这个概念，如果a是模p的二次剩余或二次非剩余，则它等于1或-1；如果p|a是0。

最重要的结论是二阶互逆定律。 如果p，q是不同的奇素数，则有。

其严格证明由高斯给出，刻画了模与馀相互矛盾的二阶同余方程与有无解的内在联系。

模型为素数的高阶同余方程理论。

原根与既约剩余系的乘法结构。

应该指出，对自然数的形成及其性质的认识来自于经验，科学定义自然数是数论的基础，自然数的皮亚诺公理是定义方式之一，其中归纳公理是自然数的本质属性。

虽然可以根据归纳公理提出最小自然数的原理，但是相反是不成立的。

欧几里得在其《几何原本》的证明中已经隐含地使用了最小自然数的原理。

书目华罗庚.数论指导.北京：科学出版社，1957。

潘承洞，潘承彪.初等数论. 2版.北京：北京大学出版社，2003.HARDY G H，Wright em.anintroductiontothetheoryofnumbers.5t hed.new York:Oxford univ 16

摘录： 《中国大百科全书（第2版）》第3卷，中国大百科全书出版社，2009年