见证奇迹的时刻：如何从麦克斯韦方程组推导出电磁波？

在前两篇文章中，长尾君介绍了麦克斯韦方程的积分和微分形式。

麦克斯韦根据这个方程式导出了电磁波，通过计算发现电磁波的速度正好等于光速。

于是，麦克斯韦预言：“光是电磁波。” 这个预言后来被赫兹证实了。

电磁波的发现使麦克斯韦和他的电磁理论进入神坛，使人类社会进入了无线时代。

现在随时可以给远方的朋友打电话，用手机刷长尾科技文章，都和电磁波有密切的关系。

那么，麦克斯韦到底是如何从麦克斯韦方程组中推导出电磁波方程的呢？ 在这篇文章中，我们一起来看看这个奇迹的瞬间吧。

什么是01波？ 要理解电磁波，首先需要知道什么是波吗？ 有些人可能觉得这个问题有点奇怪，什么是波浪？ 我把石头掉进水里，水面上会形成水波； 当我摇动绳子时，绳子上就会出现波动。

生活中有很多这样的波动现象。 我读书不多，但我知道什么是波浪。

没错，水波，绳子上的波动，这些都是波浪。 我在这里问：“什么是波浪？ ”然后扔了出去。 这个问题不是想掰着手数什么是波，什么不是，而是想问，所谓的波有什么共同的特征？ 如何用统一的数学语言表达波浪？ 我们研究物理就是从各种变化的自然界的各种现象中总结出一种一致性，并用数学语言定量准确地描述这种一致性现象。

现在，我们发现水波和绳上的波浪等许多现象都有这样的波动现象。 那么，我们自然就要在这个波动现象的背后寻找统一的数学规律，也就是描述波动现象的方程式，也就是波动方程式。

为了寻找统一的波动方程，我们先来看看最简单的波。 摆动绳子时，绳子上会出现波浪，沿着绳子移动，以一定的频率摆动时会出现连续的波浪。

为了更好地研究绳子的波动，先建立坐标系，然后关注其中的一个波动。

然后，您可以看到波浪以某个速度v向x轴的正方向(右)移动，如下图所示。

那么，该如何解释这一变动呢？ 首先，我们知道一个波浪在不断地移动。 上图是波浪所在时刻的情况，下一个时刻向右移动一点。

移动了多少也很容易计算。 因为波的速度为v，所以在t时间以后，该波向右移动vt的距离。

另外，我可以把这个时刻的波浪不管是什么形状的曲线，总之看作是一系列点( x，y )的集合。 这样的话，就可以用函数y=f ) x )来记述它。 在函数y=f(x )中，每次给定x时，都可以通过一定的操作进行f ) x )

而且，y=f(x )只记述了某个时刻的波形，如果想记述完全动态的波形，就必须考虑时间t。

也就是说，我们的波形随着时间而变化。 也就是说，我绳上某一点的纵轴y不仅与横轴x有关，还与时间t有关。 这样我们就必须用二元函数y=f(x，t )来描述波。

这一步很好理解。 这只是表示波随时间( t )和空间( x )的变化。

但是，那样是不够的。 世界上充满了随着时间和空间而变化的东西。 例如，苹果掉下来，篮球在天上飞。 和波浪的本质区别在哪里呢？

仔细观察02波的本质可以发现，波传播时，波的位置因时刻而异，但它们的形状始终相同。

也就是说，最初一秒的波是这种形式，一秒后的波不在这个地方，但依然是这种形式是很强的限制条件。

有了这个限制条件，可以区分波和其他在时间、空间内变化的波。

我是这样想的。 既然用f(x，t )记述波，则波的初始形状( t=0时的形状)可以用f ) x，0 )表示。

经过时间t后，如果波的速度为v，则该波向右移动了vt的距离，也就是说，如果将初始形状f(x，0 )向右移动了vt，则该结果可以表示为如下。

为什么将某个函数的图像向右移动了vt，结果却用函数的参数x而不是vt减去了vt呢？ 这是初中的数学问题。 现在让我们稍微回顾一下。 如果我把函数图像f(x )向右移动了3次，我想我在1这个地方的值f ) 1现在变成了4这个地方的函数值。

因此，如果还想使用f(x )这个函数，就必须从4减去3，而不是加3 (这样就得到f ) 1的值)。 4 )3=7，f )7)在这里意义不大)。

因此，如果用f(x，t )描述波，则初始时间( t=0)的波可以用f ) x，0 )表示。

经过时间t后的波的图像，初始时刻的图像向右移动了vt，即f(x-vt，0 )。

因此，我们可以从数学上给出波浪运动的本质：

也就是说，f(x，t )=f ) x-vt，0 ) )的函数，如果满足任意时刻的形状与初始形状平行移动一级，则其表示波。

水波、声波、绳上的波浪、电磁波和引力波也是如此。 这也很符合我们对波浪的直觉理解。

这里从纯数学的角度给出了波的描述，接下来从物理的角度分析波的形成原因，看看能不能得到更多的信息。

03张力一根绳子放在地上的时候是静止的，所以我们摇一摇就会出现波动。

让我想想。 这个波浪是怎么传到很远的地方的呢？ 我们的手只是拽着绳子的一端，并不是碰到绳子中间。 但是，当这个波浪到达中间的时候，绳子确实在动。 绳子起作用，说明它有力在起作用。 那么，这种力量来自哪里呢？ 稍微分析一下就会发现，这个力可能来自绳子相邻点之间的相互作用。 如果每个点“画”自己旁边的点，旁边的点就会移动。 (和我们排队数的时候只通知旁边的人一样。 )这根绳子内部的力叫做张力。

张力的概念也很好理解。 例如，我们用力拉绳子。 我对绳子施加了力，这根绳子为什么不伸长呢？ 离我手最近的点为什么拉不动？

答案当然是，这一点附近的点对此质点施加了相反的张力，这一点一个被我吸引，另一个被那附近的点吸引，两种力的效果相互抵消。

但是，力是相互作用的。 如果附近的点对端点施加张力，则该附近的点也会受到来自端点的张力。 但是，这附近的点也没有移动，所以必然会受到来自更内侧的点的张力。

这个过程可以一直持续扩展，最后的结果是这根绳子的所有地方都有张力。

而且，如果绳子的质量被忽视，绳子没有系好，没有伸长，也可以判断绳子内部的张力在任何地方都是相等的。 (如果一个点两侧的张力不同，该点就应该被拉伸，绳子会被拉伸变形。 )这是一个重要的结论。

上述分析表明，当理想绳索处于张紧状态时，绳索内部处处存在相等的张力。

绳子静止在地面上时会变松，没有张力，但是波浪传到这里的话绳子就会变成波浪的形状。 此时存在张力。

由于这种张力使绳上的点上下振动，分析这种张力对绳的影响是分析波动现象的关键。

在04波的受力分析中，从处于波动状态的绳索中选择一个小AB，分析一下这个小绳索在张力作用下是如何作用的。

请放心。 这里没有复杂的物理公式。 需要的公式只有一个。 有名的牛顿第二定律： F=ma。

牛顿第一定律告诉我们，“某些物体在不受力或受力为0时保持静止或等速直线运动状态”，如果合力不为0呢？ 牛顿第二定律继续说，如果外力f不为零，物体就有加速度a，它们之间的关系由F=ma定量描述。

也就是说，如果知道某个物体的质量m，能够分析其受到的合力f，就可以根据牛顿的第二定律F=ma计算出其加速度a，如果知道加速度，就知道下一个动作。

牛顿的第二定律就是这样将物体的受力状况( f )和运动状况( a )组合而成的，我想知道物体是如何运动的，只要分析受到的力就可以了，所以很牛。

看看我们的波浪吧。 我们从处于波动状态的绳索中选择小的AB。 如果你想知道AB是如何工作的，就必须分析它受到的外力。

因为不考虑绳子的质量，所以不需要考虑绳子的重力。 那么，分析绳子AB两端的张力t就可以了。

如上图所示，绳索AB受到从a点向左下的张力t和从b点向右上的张力t。 而且，因为也知道这两个张力相等，所以将其表示为t。

但是，因为知道波动部分的绳子是弯曲的，所以从图中可以明显看出这两个张力的方向不同。

设a点处张力的方向与横轴所成的角为，则b点与横轴所成的角明显不同，表示为。

由于绳索上的点在波动时上下运动，所以只考虑张力t的上下方向的分量，不考虑水平方向的分量。

那么，我们来分解一下ab2点的张力t。 使用一点三角函数的知识，可以发现在b点的向上张力为tsin()，在a点的向下张力为Tsin。

那么，整个AB段在垂直方向上受到的合力等于f=tsin ()sin这两个力的减法。

那么，根据牛顿第二定律F=ma，需要知道物体的外力f、质量m、加速度a。 现在我们知道外力f，质量m和加速度a怎么样？

05波的质谱质量很容易说。 假设绳索的每单位长度的质量为，则长度L的绳索的质量为L。

但是，由于取得了非常小的线段，所以将a点的横坐标设为x，将b点的横坐标设为xx。 也就是说，设绳索AB在横坐标上的投影长度为x。 那么，如果绳子的长度非常短，变动非常小，可以近似使用x代替l。 这样，绳子的质量就表现为x。 (能够阅读这个电磁波篇的，必须事先阅读麦克斯韦方程的积分篇和微分篇，我在那两者中介绍了这个思想，所以在此不再赘述。

质量结束后，剩下的是加速度a。

你可能以为我已经得到了合力( f=T()-T ) sin)和质量m )x )。 那么，剩下的一定是合力f除以质量m得到加速度a )牛顿的第二定律)。 不，不，这样很难玩。

也可以从其他角度得到加速度a，将它们作为拼盘进行组合。

从哪里得到加速度？ 根据描述波的函数f(x，t )。

06波的加速度分析还记得我们之前说的描述这个波的函数y=f(x，t )吗？ 这个函数的值y表示在x这个地方，时间为t时这个点的纵轴，也就是波的高度。

我们现在求出的是AB上下变动时的加速度。 那么，如何根据描述该点位置的函数求出加速度a呢？ 现在我们再来了解一下加速度a。 加速度是什么？ 从名字中可以看出，这个量是用来测量速度变化的速度的。

加速度啊。 速度越快，加速度的值一定越大。

假设一辆车的第一秒速度为2m/s，第二秒速度为4m/s，则速度之差(4-2=2)除以时间差(2-1=1)后，其加速度为2m/s。

请再想起一次。 我们是怎么求出车速的？ 我们把距离之差除以时间差。

例如，第一秒离开起点20米，第二秒离开起点50米的车速为距离差( 50-20=30 )除以时间差(2-1=1)得到的值为30m/s。

大家从这两个例子中发现了什么吗？ 用距离之差除以时间差得到速度，用速度之差除以时间差得到加速度。 这两个过程都是除以时间差的。

那么，如果我把这两个过程合二为一呢？ 那是不是可以说把距离之差除以一次时间差，再除以一次时间差就能得到加速度呢？ 这样的表达不准确，但很容易就能让你理解这个思想。

如果把距离当作与时间有关的函数，就此函数求出一次导数(上面的距离差除以时间差，只不过接近无限小)，就得到速度的函数，就速度的函数再次求出导数，就得到加速度的表现。

因此，如果对时间求2次与距离(位置)相关的函数的导数，就可以得到加速度的公式。

的函数f(x，t )不是描述了绳子上的某个点在不同时间t的位置吗？ 那么，如果对f(x，t )求两次关于时间的导数，自然就能得到这一点的加速度a。

因为函数f是关于x和t两个变量的函数，所以我们只能求出时间的偏导数f/t，再求出偏导数的话就会加2。

于是，可以这样表示该点的加速度a=f/t。 (关于偏导数的介绍在微分篇中有详细叙述，在此不再赘述。

这样，牛顿第二定律F=ma的三个要素都齐了。 f=tsin()-Tsin，m=x，a=f/t。

把它们放在一起就可以呼唤上帝，不，可以写AB的运动方程式：

用牛顿第二定律写的这个波动方程，看起来怎么样？ 嗯，好像有点丑。 我看不清楚。 方程式左边的东西看起来很麻烦。 我们有必要改造它。

怎么改造？ 你可以先杀了sin。

07方程的改造要想很好地打败sin，我们先回顾一下基本的三角函数：

如上图所示，右边为直角三角形abc，角的正弦值sin等于对边c除以斜边a，正切值tan等于对边c除以邻边b。

当这个角度还大时，a明显比b长。

但是，如果角度非常小，可以想象旁边的边b和斜边a可能会重叠。

此时，我们可以认为近似a和b相等，也就是ab，有c/bc/a，即tansin。

也就是说，在角度小的情况下，可以使用正切值tan来代替正弦值sin。

假设这根绳子的扰动非常小，变形非常小，和都非常小，正弦值可以用正切值代替。

于是，该波动方程式左边的sin()-sin可以置换为tan ))-tan。

为什么用正切值tan代替正弦值sin呢？ 因为正切值tan表示直线的斜率，也可以表示某点的曲线的导数。

请考虑正切值的公式tan=c/b。 创建坐标系时，此c正好是直线在y轴上的投影dy，b正好是在x轴上的投影dx。 它们的比正好成为导数dy/dx。 也就是说，tan=dy/dx。

但是，由于波函数f[x，t]是关于x和t的二元函数，所以只能求出某一点的偏导数，正切值等于该点的偏导数： tan=f/x。

那么，原来的波动方程式可以写如下。

这里稍微说明一下偏导数的符号。 用f/x表示函数f(x，t )的偏导数。 这是一个函数，x可以有各种各样的值。

但是，如果添加竖线|，并在竖线的右下角加上xx，则需要xx位置的导数。

请看这张图吧。 我们约定了a点的横坐标为x，对应的角度为。 b点的横坐标为xx，对应的角度为。

因此，由于可以使用xx和x两个位置的偏导数值来代替和的两个位置的正切值tan() )和tan，所以波动方程式可以如以上那样书写。

接下来，如果将方程式的两边同时除以x，则左边就是函数f/x的xx和x两个位置的值之差除以x。 这实际上就是f/x函数的导数公式。

也就是说，两边同时除以x的话，左边变成偏导数f/x对x，再次求出导数，那就是用f(x，t )对x求出2次偏导数。

上面已经用f/t表示了函数对t的2次偏导数，这里可以自然地用f/x表示函数对x的2次偏导数。

然后两边同时除以t，方程式就会变得简洁。

将方程左边的tan()-tan转换为函数f ) x，t )相对于空间x的二阶偏导数的过程非常重要。 请好好理解这个过程。

正切值tan是一阶导数。 然后，用两个正切值之差除以自变量的变化，就可以再得到一次导数。 于是，总共有2次，所以可以得到以上简洁的公式。

08用经典的波动方程来看方程右边的/T。 如果仔细计算/T的单位，就会发现正好是速度平方的倒数。 也就是说，如果将某个量定义为T/u的平方根，则该量的单位正好是速度的单位。

可以想象该速度当然是该波的传播速度v :

这样定义速度v后，最终的波动方程式就会出现。

这个方程是我们最终要找的经典波动方程，为什么要把它变成经典的波动方程呢？ 因为没有考虑量子效应啊。 在物理学中，古典是非量子的同义词。

如果考虑量子效应的话，这个经典的波动方程就没用了，必须使用量子的波动方程。 那就是有名的薛定谔方程。

薛定谔根据这个经典的波动方程，结合德布罗意物质波的概念，勉强推测了薛定谔方程。

这个方程使物理学家们摆脱了被海森堡矩阵支配的恐惧，回到了微分方程式的美丽世界。

薛定谔方程很厉害，但没有考虑狭义相对论的效果。 高速运动(接近光速)的粒子在微观世界很常见。 我们也知道，当物体接近光速时，必须考虑相对论的效果，但薛定谔方程没有这样做。

最终将薛定谔方程相对论化的是狄拉克，狄拉克把自己关在房间里三个月，终于逼出了同样有名的狄拉克方程式。

狄拉克方程首次从理论上预言了反物质(正电子)。 当时的科学家们认为狄拉克这是胡说八道，我国物理学家赵忠尧老师几乎同时在实验室首次观测到了正负电子的湮没。

另外，狄拉克的工作也促进了量子场论的诞生，打开了神圣的新世界之门。

物理学家们沿着这条路驯服了电磁力、强力和弱力，建立了粒子物理的标准模型。 于是，全世界都洁净了，天下大定，消除了那该死的重力。

这些精妙绝伦的故事稍后再说。 把这些故事写成一本书《量子英雄传》，嗯，一定不逊色于金庸的武侠。 好了，回到正题，看到这个经典的波动方程到后面还会起那么大的波浪，不是突然尊敬它了吗？ 我们这样导出了经典的波动方程。 有些朋友可能有点无知，但没关系。 再试着捋一次吧。

这个看起来很复杂，含有二阶偏导数的方程其实只是告诉了我们。 如果将这条绳子的极小的一段看作一个质点，则该质点满足牛顿的第二定律F=ma。 就这样了。

09再生我们的整个推导过程不过是寻找F=ma中的这三个量。

在垂直方向上分解绳索的张力，得到了垂直方向的合力f(t(sin((-t ) sin) )。 定义了单位长度的质量后，可以计算该小绳的质量m(x )； 通过对波函数f(x，t )的分析，发现对表示该距离)位移的函数相对于时间求一次偏导数就可以得到速度，再求出一次偏导数就可以得到加速度，从而得到了该绳的加速度a(f/t )。

然后，根据牛顿第二定律F=ma对这些量进行了组合。

在处理问题的过程中，我们做了很多近似。 因为我们取了一个小段落，所以可以用x近似代替绳子的长度l。 假设扰动小，绳子从x轴的偏移小，角度就会变小。 近似使用正切值tan代替正弦值sin。

很多人乍一看会想，这么严密的推导怎么能这么随意近似呢？ 这里和那里很像，但得到的最终结果还是准确的吗？ 要理解这个问题，必须正式学习微积分。 现在我告诉你微积分的核心思想是直代曲中的近似。 你相信吗？ 微积分中用各种短直线代替曲线进行近似，得到的结果非常准确。

因为我们可以把这些线段取得非常小，或者无限小，所以这个误差也会慢慢地无限小。

所以我们在分析这根绳子的时候，强调了取非常小的段，给出非常小的干扰，得到非常小的角度。

另外，tan是一阶导数，而且当它们的差再一次除以x时，导数再次出现。 因此，在方程式的左边出现f(x，t )相对于位置x的二次偏导数。

的右边是函数f(x，t )对时间t求两次偏导数得到的加速度a (求一次导数得到速度，求两次就得到加速度)。

所以，我们看到的是波动方程，其实那只是伪装的牛顿第二定律F=ma。

理解了这一点，波动方程式就没有什么不可思议的了。

再仔细看看这个方程式：

这个波动方程式的意义也很直观，它告诉我们f(x，t )这样的随时间t和空间x变化的函数。 如果该二元函数在对空间x求二次导数而得到的f/x和对时间t求二次导数而得到的f/t之间满足上述关系，则f(x，t )记述为波。

求解这个方程式，可以得到描述波的函数f[x，t]。

另一方面，我们在对波进行数学分析时，得到了如果有用某个函数f(x，t )记述的波，就一定满足f ) x，t )=f ) x-vt，0 )的结论。

所以，波动方程的解f(x，t )也一定满足前面的关系。 这个感兴趣的人可以自己证明一下。

好了，经典的波动方程就到此为止。

有了波动方程，我们就知道通过几步简单的运算，就可以从麦克斯韦方程中推导出电磁波的方程，然后电磁波的速度也可以确定。

10真空中麦克斯韦方程组的麦克斯韦方程组的微分形式如下：

该方程式的经过长尾科学技术在上一篇文章《最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）》中有详细介绍，在此不再赘述。

在该方程中，e表示电场强度，b表示磁感应强度，表示电荷密度，j表示电流密度，0和0分别表示真空中的介电常数和磁导率(均为常数)，表示矢量微分算子，、分别表示分散度和旋转度。

接下来我们的任务是看看如何从这个方程式推出电磁波方程式。

首先，如果真的能形成波浪，这个波浪一定要出去，在没有电荷、电流，也就是电荷、电流的地方可以自己传播。

因此，首先设电荷密度和电流密度j为0，当=0，J=0时，得到真空中的麦克斯韦方程：

有人觉得为什么能把电荷密度定为0？ 这样，第一个方程式就是电场的分散度E=0，这不就等于说电场强度e为0，没有电场吗？ 没有电场怎么来的电磁波？ 初学者有很多误解，比如认为如果电场分散度E变为0，电场就会消失。

其实，电场的发散度为0只是告诉我们通过包含它的无限小曲面的通量为0，通量为0并不意味着电场e为0啊。 为什么这么说呢，因为我可以出入这个曲面的电通量(有关系的线的数量)是相等的。

这样一来，正的电流通量(进入的电线线数)有多少，负的电流通量)就有多少，由于出入正负被抵消，总的电流通量保持为0。

而且，这一点的分散度e为0，但电场强度e不是0。

所以，必须清楚地区分电场e的分散度为0并不意味着电场e为0，只是要求电通量为0，磁场也是如此。

那么，让我们来看看真空中(=0，J=0)的麦克斯韦方程。 方程式1和2表示真空中电场和磁场的分散度为0，方程式3和4表示电场和磁场的旋转度等于磁场和电场的变化率。

前两个方程都是独立描述电和磁的，后两个方程是电和磁的相互关系。

我们隐约能感觉到。 如果能导出电磁波的方程式，你一定要综合上面的几个公式。 因为波浪会出去，而你上面的单独方程都只是描述某个点的旋转度或分散度。

有一个简单的把这些放在一起的方法。 同时对方程3和方程4两侧再取一次旋转度。

方程式3的左边是电场的旋转度E，再取该旋转度( ) ) e )。 方程式3的右边是磁场的变化率，右边取1次旋转度也能得到磁场b的旋转度B，这正好与方程式4相关联。 方程式4两侧的旋转度看起来也一样。 这看起来是个好兆头。

一些朋友可能会怀疑，为什么不旋转方程3和4的两边，取分散度。 如果你感兴趣的话，试着取两种发散度。 可以看出，电场e的旋转度取发散度( ) ( e )的结果始终为0。

如果观察方程式3的右边，这一点就更明显了。 方程3的右边是磁场的变化率。 如果在方程式的左边取得散度的话，右边也会取得散度。 并且右边的磁场散度总是为0。 ( ( b=0是方程式2的内容。

这样得不到什么有意义的结果。 计算0=0能得到什么？ 因此，我们现在的问题是如何求出电场e的旋转度的旋转度(()) ( e ) )。 旋转度毕竟和叉烧密切相关，所以先来看看叉烧的叉烧吧。

11 )叉是积分篇和微分篇，详细说明了向量的点乘和叉乘。 另外，还知道了点乘的结果a(b是标量，而叉乘的结果AB是向量(方向可以用右手定律判断)。 右手从a指向b，拇指的方向是AB的方向)。

然后，点乘和叉乘是向量之间的运算。 ab的结果是标量，无法与其他矢量进行点乘和叉乘。

但是，AB的结果仍然是一个向量呢。 那么，按照逻辑，也可以继续与新向量进行点乘或叉乘运算。 这样的话，我们的运算可以有三个向量参与。 这个结果叫做三叠。

因为a ( ) BC )的结果是标量，所以这被称为标量三重积； A(BC )的结果还是向量，称为向量三重积。

标量三重积a ( ) bc )其实很简单。 在微分篇中已经说过了，两个向量的叉的大小和它们构成的平行四边形的面积相等。 那么，如果在这个面积上再乘以一个矢量点，就可以知道这正好是由三个矢量a、b、c组成的长方体的体积。

朝着上图稍微想想就知道这个了。

而且，既然是体积，自由改变它们的顺序肯定不会影响最终的结果。

我们真正要重点考虑的，还是矢量三重积。

矢量三重积a(bc )与电场e的旋转度的旋转度) ) e )的形状相近，密切相关。

没有上面标量三重积那样简单直观的几何意义，我们好像只能用数学导出。 这个导出过程，嘿，我直接写结果吧。 a(bc )=b(a ) c )-c ) a ) b )。

结果是这样的，不好看吗？ 嗯，确实有点难看。

但是，记住这个公式有一个简单的诀窍。 是远交近攻。

什么是远交近攻？ 当时，秦相范雎，啊，不，a(bc )中的a离b近，离c远，所以a联合c ) a ) c前面的符号攻击正符号)，b ) a ) b前面的符号攻击负符号) 这样，这个公式就容易记住，感兴趣的人可以自己完成导出过程。

12转度的旋转度有矢量三重积的公式，以葫芦为样本，设定电场e的旋转度( ) ) e )。

如果比较这两个公式a(bc )和( e )，似乎只要将a和b改为，将c改为e就可以了。

那么，向量三重积的公式( a(bc )=b(a ) c ) a ) b ) ) e ) ) ) e ) e ) e ) ) ) ) 652 )

嗯，(E )表示电场e的散度梯度，散度e的结果是标量，标量梯度是有意义的，后面的E()是什么？ 两个算子放在一起，中间还有一个点乘的符号，似在求的散度()，但只是算子，不是向量函数。 如何求出分散度？ 而且，两个前面有电场e，为什么e去了运算符前面呢？ 请看向量三重积公式的下一项c(a ) b )。

该式意味着向量a和b先进行点乘法，点乘法的结果a-b是标量，将该标量与向量c相乘。

很明显，如果标量与向量相乘，则标量可以位于向量的前面和后面。 ( 3C=C3 )也就是说，c ) a ) b )=) a ) b ) c )。

那么，同样，e()可以用) () e代替。 另外，也可以写) e。 这样一来，拉普拉斯算子) )这一另一个有名的东西就会牵连在一起。

13拉普拉斯算子拉普拉斯算子在物理学界很有名，看起来像哈密顿算子的平方，但其实它的定义是梯度的散度。

如果用t(x，y，z )表示空间上一点( x，y，z )的温度，则该温度函数t ) x，y，z是标量函数，由于梯度是向量(梯度有方向，指变化最快的方向) )分散度

利用我们在微分篇中学到的算子的展开式和矢量坐标乘法的规则，可以表示温度函数t(x，y，z )的梯度分散度)即t )。

比较一下三维的运算符：

所以，我们把上面的结果(坡度的分散度)写成)也很容易理解。 )与运算符的区别在于，每个项目增加了一次幂。

因此，拉普拉斯算子自然可以写成：

从拉普拉斯算子的定义可以看出，它似乎只作用于作用于标量函数的函数，但稍微扩展也可以作用于向量函数v(x，y，z )。

只需分别取向量函数的各分量，就可以定义向量函数的。

既然定义了向量函数的拉普拉斯算子，那么让我们稍微注意一下以下结论(在课上自己证明)。

然后看看中间的东西。 有点眼熟吗？ 求电场旋转度的旋转度时，正好() ) ) )不是出现了e吗？ 现在可以毫不在意地将其替换为e。 于是，电场旋转度的旋转度可以写为( ) ) ( e ) ) ( e=) ) %e )。

至此，利用矢量的三重乘积公式估计电场e旋转度的过程结束，得到了这个极其重要的结论。

这表明，电场旋转度的旋转度等于电场分散度的梯度减去电场的拉普拉斯。

有了这个，电磁波方程很快就出来了。

14目睹奇迹时，请看真空中的麦克斯韦方程组：

第三个方程，即法拉第定律，表示为：

我们在这个公式的两边取旋转度。 左边是上面的结论。 右边只对磁感应强度b取旋转度。 也就是说：

看看这些项，看看真空中麦克斯韦方程。 方程式1告诉我们E=0，方程式4告诉我们b=00(e/t )。 将这两个项代入上式，其结果自然如下。

0、0均为常数，其右边自然对电场e求两次偏导数。

如果你整理一下负号，最后一个表达式是这样的：

嗯，于是我们莫名其妙地消除了磁感应强度b，让这个方程只包含电场e。

比较一下我们至今为止唠叨了很多的经典波动方程式：

推导经典波动方程时只考虑一维情况。 因为我们只考虑了波沿着绳子这一维传播的情况，所以我们的结果中只有f/x这个项目。

考虑到三维的情况，不难想象波动方程式的左边应该写在第3项上。 这三项正好是f的三维拉普拉斯：

因此，我们的经典波动方程可以用拉普拉斯算子写成以下更普遍的形式。

让我们看看从麦克斯韦方程组中得到的电场方程：

嗯，我们给出的电场方程和经典的波动方程的形式一模一样。 现在说电场e是波，有什么异议吗？ 我们把电场e变成了独立的方程式。 代价是这个方程式变成了二次(方程式中出现了平方项)。

对于磁场，如果进行同样的操作，则真空中的麦克斯韦方程式的方程式4(() b=00(e/t ) )在两边取旋转度，再次重复以上过程，就可以得到独立的磁感应强度b的方程式。

这样，我们发现e和b都满足波动方程。 也就是说，电场和磁场都以波动的形式在空间中传播。 这当然是电磁波。

15对比电磁波的速度电场和磁场的波动方程式，可以发现它们的形状很相似。 (是把e和b对调的。 这样的话，那些浪的速度也应该一样。

比较经典波动方程式的速度项，电磁波的速度v当然如下

查一下0、0的数值吧。 代入0=410^-7N/A、0=8.85418781810^-12(f/m )进行计算。

查一下真空中的光速c=299792458m/s。

前者是根据麦克斯韦方程组计算出的电磁波速度，后者是从实验中测量的光速。

有了这样的数据作为支撑，麦克斯韦得以大胆预测。 光是电磁波。

当然，“光是电磁波”现在已经不是什么新鲜事了。 但是，请回顾一下历史。 科学家在研究各种电现象时引入了真空介电常数0，在研究磁体时引入了真空磁导率0。 那些和光完全没有关系。

麦克斯韦基于理论美学和他惊人的数学才能，提出了位移电流假说。 (从导出中也可以看出，如果没有麦克斯韦加入的位移电流这一项目，就没有电磁波。 )并发现电磁波的速度只与0、0有关，正好等于人们测量的光速。 这怎么不令人惊讶呢？ 麦克斯韦以为他在研究电磁理论，但当他的电磁大楼完工时，他意外地发现光的问题也顺利解决了。 他一直在建电磁光大楼。

做理论研究的话也可以买二送一。 打折销售的力度这么大，你不吃惊吗？ 意外吗？

总之，麦克斯韦相信自己的方程式，相信光是电磁波。 当赫兹最终在实验室发现电磁波并证明其速度确实等于光速后，麦克斯韦和他的理论获得了无上的荣耀。

爱因斯坦后来不太相信自己的宇宙不可能膨胀的方程式，所以错过了修正它，预言宇宙膨胀的机会。

后来，当哈勃通过望远镜观测到宇宙正在膨胀时，爱因斯坦懊悔不已。

16结语回顾电磁波的推导过程，发现真空麦克斯韦方程组的方程3和方程4两边取旋转度，自然可以得到电磁波方程，电磁波速度等于光速C。

这里有重要的问题。 这个电磁波的速度是对谁的？ 针对哪个参考系？ 在牛顿力学中，一个物体的速度，肯定相对于某个参考系。

都说高铁的速度是300km/h，这是相对于地面的，相对于太阳的速度会变大。

这个道理在前面讨论过的波的地方也是一样的，波的速度一般说是相对于该波所在介质的速度。 例如，绳子上的波浪通过绳子传播，其速度相对于绳子。 如果波在水中传播，则该速度相对于水； 声波在空气中传播。 (真空中听不到声音。 )声波的速度当然是对空气的速度。

那么，电磁波呢？ 从麦克斯韦方程导出的电磁波速度是针对谁的？ 水？ 空气？ 显然不是这样。 因为电磁波不需要水和空气这样的实体介质。 即使在真空中也能传递。 否则，你怎么看太阳光和宇宙深处的星光？ 而且我们在导出电磁波的过程中也没有预设任何参考系。

因此，当时的物理学家们假设电磁波的介质是扩展到空间中的以太网，大家开始寻找以太网，但怎么找也找不到。

另一方面，电磁波的发现极大地支持了麦克斯韦电磁理论，但与牛顿力学之间存在着根本的矛盾，似乎极大地加剧了当今广义相对论与量子力学之间的矛盾。

我该怎么办？ 1879年，麦克斯韦去世，同年爱因斯坦出生。 这就像是两代伟人的交接仪式。

麦克斯韦电磁理论和牛顿力学之间的矛盾，以及“以太”这个大洞都被年轻的爱因斯坦解决了。 爱因斯坦解决它们的方法是著名的狭义相对论。

其实，在麦克斯韦提出他的电磁理论之后，狭义相对论问世几乎是必然的。 因为麦克斯韦电磁理论其实是狭义相对论框架下的理论，也是与牛顿力学碰撞的核心。

所以，爱因斯坦把他狭义相对论的论文命名为《论动体的电动力学》。

麦克斯韦的电磁理论结束了时代，但牛顿力学到底有什么矛盾，开辟了一个新的时代(相对论时代)。 为什么狭义相对论必须解决这个矛盾？ 这些是我接下来要讨论的重点。

我会尽力向大家展示科学的发展有其清晰的内在逻辑和原因。 并不是每个人都拍拍脑袋提出石破天惊的新理论。

另外，电磁理论和牛顿力学的融合是人类两个非常成功的，但也是解决直接碰撞理论的非常宝贵的经验，这与我们现在面临的问题(广义相对论和量子力学的碰撞)非常相似。

希望通过这样的叙述能给一些爱好科学的少年一些启示，让他们以后在面对广义相对论和量子力学的碰撞时，能有一些灵感。

嗯，是的。 期待着未来的爱因斯坦~