高中数学课件：2022年上教师资格证《高中数学学科知识与教学能力》真题及解析

1.极限

的值是（）。

A.0

B.1

C.e

D.∞

正确答案：C

参考解析：

2.已知向量a与b的夹角为π/3，且|a|=1，|b|=2，若m=λa+b与n=2a一b互相垂直，则λ的为（）。

A.一2

B.一1

C.1

D.2

正确答案：D

参考解析：因为m，n垂直，所以mn=0，即(λa+bn)(2a一b)=0，2λ|a|2+(2一λ)|a||b|cosπ/3一|b|2=0，得出λ=2

3.设f（x）与g（x）是定义在同一区间增函数，下列结论一定正确的是（）。

A.f（x）+g（x）是增函数

B.f（x）一g（x）是减函数

C. f（x）g（x）是增函数

D.f（g（x））是减函数

正确答案：A

参考解析：根据函数的增减性，增+增=增，可知f(x)+g(x)是增函数。故本题选A。

4.设A和B为n阶方阵子一定正确的是（）。

A.A+B=B+A

B.AB=BA

C.

D.

正确答案：A

参考解析：由于已知A与B均为n阶方阵，则可知A+B=B+A，故本题选A。

5.甲、乙两位同学分别前往不同公司的面试，甲同学被选中的概率是1/7，乙同学被选中的概率是1/5，则两位同学中至少有一位被选中的概率是（）。

A.1/7

B.2/7

C.11/35

D.12/35

正确答案：C

参考解析：两位同学中至少有1位被选中的反面是两位同学都没有被选中，显然对立事件的概率更容易计算，两位同学都没有被选中的概率是：

6.若向量a=（1，0，1），a2=（0，1，1），a3=（2，λ，2）线性相关，则λ的值为（）。

A.一1

B.0

C.1

D.2

正确答案：B

参考解析：向量组线性相关的充要条件是它们构成的行列式值等于0，所以

=0，解得λ=0

7.下列语句是命题的是（）。①2x<1②x一3是整数③存在一个x∈z，使2x一1=5④对任意一个无理数x，x+2也是无理数

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

正确答案：D

参考解析：由命题的概念：可以判断真假的陈述句叫做命题。对于①，不是陈述句，故不是命题；对于②，由于不知道x的具体范围，无法判断其真假，故不是命题；对于③、④，即为可以判断真假的陈述句，是命题。故本题选D。

8.下列数学成就是中国著名成就的是（）。①勾股定理②对数③割圆术④更相减损术

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

正确答案：C

参考解析：①、③、④都属于中国古代的数学成就，而②中提到的对数是英国科学家约翰纳皮尔发明的。故本题选C。

9.

已知函数

，求函数f（x）的单调区间和极值。

参考解析：单调递增区间为[0，1][2，一∞]，单调递减区间为（一∞，0）和（1，2）；极大值为2，极小值为1。

10.求过直线

且平行于直线

的平面方程。

参考解析：2x一3y一z+7=0【解析】

11.已知某班级80%的女生和90%的男生选修滑冰，且该班中60%的学生是女生。（1）从该班随机选取一名学生，求这名学生选修滑冰的概率；（3分）（2）在该班选修滑冰的学生中随机选取一名学生，求这名学生是女生的概率。（4分）

参考解析：（1）0.84；（2）4/7。【解析】

12.简述研究椭圆几何性质的两种方法。

参考解析：研究椭圆几何性质的两种方法：①用曲线方程研究几何性质，例如通过椭圆方程研究x、y的取值范围，通径，焦半径取值范围等，能够解释椭圆标准方程a，b，c的几何意义，这种方法是数形结合的数学思想方法的典范。②用代数方法研究几何性质，在研究过程中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型。

13.简述在教材平面教学设计内容中设置下列习题的设计意图（答出两条即可）。已知0<x<1，0<y<1，求证不等式

并说明其设计意义。

参考解析：设计意图：(1)不等式左侧分别是(x，y)到(0，0),(0，1)，(1，0)，(1，1)的距离，可以提升学生对两点间距离公式的理解和应用;(2)(x，y)到这四个点的距离之和，可以结合这四个点在平面上的位置进行分析，xy的范围对应第一象限边长为1的正方形范围，在这道题的解决过程中,增强了学生数形结合的能力。

14.已知抛物线

。（1）求抛物线在点（2，1）处的切线方程（5分）（2）如图，抛物线在点P（xo，yo）（xo ≠0）处的切线PT与y轴交于点M，光源在抛物线焦点F(0，1）处，入射光线FP经抛物线反射后的光线为PQ，即∠FPM=∠QPT，求证：直线PQ与y轴平行。（5分）

参考解析：（1）y=x一1；（2）思路：通过构造菱形，得出与y轴相互平行。

15.论述数学史在数学教学各阶段（导入、形成、应用）的作用。

参考解析：在导入部分，可以通过介绍历史上的数学家，例如欧几里得在《几何原本》中将圆的切线定义为“与圆相遇但延长后不与圆相交的直线”。形成部分：并让学生回忆圆的切线定义，引导学生对切线定义进行改进，并借助《几何原本》中的有关命题，引导学生得出新的切线定义。应用部分：从形到数，引导学生得出导数的定义。

根据所给材料回答问题。

16.下面是甲、乙两位教师的教学片段。[教师甲]教师甲：在平面直角坐标系中，点（x，y）关于y轴的对称点是什么?学生1：（一x，y）。教师甲：为了研究函数的对称性，请大家填写下表，观察给定函数的自变量x互为相相反数时，对应的函数值之间具有什么关系?

学生2：通过计算发现，自变量互为相反数时，对应的函数值相等，可以用解析表示，

教师甲：通常我们把具有以上特征的函数称为偶函数，请大家试着给出偶函数的定义。[教师乙]教师乙：我们已经研究了函数的单调性，并且用符号语言精确地描述了函数的单调性，今天我们研究函数的其他性质，请大家画出函数f（x）=x2和g（x）=|x|的图象，并观察它们的共同特征。（通过观察，学生发现这函数的图象都关于y轴对称）教师乙：类比函数的单调性，你能用符号语言精确地描述“数图象关于y轴对称”这概念吗?（通过观察，学生发现f（一x）=f（x））教师乙：通常我们把函数上述特征的函数称为偶函数，请大家试着给出偶函数的定义。问题：（1）写出偶函数的定义，并简要说明函数奇偶性的作用；（1分）（2）对甲、乙两位教师的教学进行评价。（10分）

参考解析：（1）偶函数的定义：设函数f（x）的定义域为D，如果Vx∈D，都有一x∈D，且f（一x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。研究奇偶性作用：函数的奇偶性跟其图象的对称性紧密相关，奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称；有奇偶性的函数只需知道y轴一侧的性质就可推出y轴另一侧的性质，在对函数性质的分析上可以简化运算和分析。（2）甲教师在对偶函数的新授过程中，着重引导学生通过计算结果分析得到偶函数的定义，缺乏学生主动探索的过程，直接给出本节课的研究主题是对称性，太过于直截了当；而乙教师在教学过程中，引导学生进行了图象观察和结论的探索，更加符合新课改学生是学习主体的理念，并且结合了之前学过的单调性进行导入，在下定义的时候引导学生结合之前学过的知识进行尝试，使学生在学习新知识的同时对旧知识得到很好的巩固。

根据所给材料回答问题。

17.下面是高一下学期教材“空间中直线与平面的位置关系”的部分内容。

根据上面的内容，完成下列任务：（1）画出直线与平面的位置关系的示意图，并举出生活中体现这三种位置关系的实例；（12分）（2）写出这部分内容的教学设计，包括教学目标、教学重点、教学过程（含引导学生探究的活动和设计意图）。（18分）

参考解析：

(1)直线与平面的三种位置关系，如下图所示:

生活中能够体现这三种位置关系的实例:①线在面内:黑板的一条长边所在直线含于黑板所在的平面内;②线面相交:门轴所在的直线与地面所在的平面相交;③线面平行:黑板的一条长边所在的直线与地面所在的平面平行。

(2)《空间中直线与平面的位置关系》

教学设计.《空间中直线与平面的位置关系》

一、教学目标

1.知识与技能目标:了解空间中直线与平面的位置关系。

2.过程与方法目标:学生通过动手操作模型或者观察实例,能够正确画图表示直线与平面的位置关系，培养基本的作图能力以及空间观念。

3.情感、态度与价值观目标:感受数学与实际生活的联系，加强合作交流的团队意识。

二、教学重难点

1.教学重点:了解空间中直线与平面的位置关系。

2.教学难点:学会用图形语言、符号语言示三种位置关系

三、教学过程

1.复习导入:回顾空间中直线与直线的位置关系，引导学生复习旧知得到(1)相交;(2)平行; (3)异面。从而引出课题空间中直线与平面的位置关系。

2.讲授新知

(1)出示情境给出生活实例(1) 一支笔所在的直线与一一个作业本所在的平面有什么位置关系? (2)长方体中正面的面对角线所在的直线与长方体的6个平面有什么位置关系?组织学生进行小组讨论。

(2)合作探究

小组合作交流之后，教师进行提问并归纳空间中直线与平面的位置关系有且只有三种:(1)一直线在平面内(有无数个公共点); (2)直线与平面相交(有一个公共点); (3)直线与平面平行(没有公共点)当直线与平面平行或相交时统称为"线在面外"。教师在此处强调:线在面外,直线与平面有可能有一个公共点或者0个公共点,并刚刚出示的情境具体描述直线与平面的位置关系。

(3)强调表示法

教师鼓励学生尝试给出三种位置关系的图形、符号语言，并鼓励学生.上台板演。最后教师进行完善补充(如图)，并强调其读写法以及与文字语言的对应。作图时候，教师提醒学生:表示线在面内时，将直线画在表示平面的平行四边形之内。

3.巩固练习

(1) PPT出示图片,学生快速判断每个图片中直线与平面属于什么位置关系。

(2)出示课本例1 (下列命题中正确的是),进行讲解。

4.小结作业

(1)课堂小结直线与平面的位置关系可以按位置分，也可以按照交点个数分。

(2)课后作业直线与平面的位置关系可以按位置分，也可以按照交点个数分。

第一,必做题课本5、6题;

第二，思考题:直线与平面平行，则直线所在的平面与该平面有什么样的位置关系?直线与平面相交，则直线所在的平面与该平面有什么样的位置关系?

四、板书设计

空间中直线与平面的位置关系

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