「最小的正整数」最小的正整数是啥

毕达哥拉斯（Pythagoras）是公元前6世纪的古希腊先贤，是希腊的哲学家和数学家。他的教育思想建立在哲学和科学理论基础上。毕达哥拉斯学派的教育思想推动了后世人们对崇高精神生活的追求；它是哲学史和教育史上的一大进步。

毕达哥拉斯形数

毕达哥拉斯认为："万物皆数"，数是万物之"本""，只有通过数字才能对自然现象进行解释。在众多的学派中，毕达哥拉斯学派对"形数"的研究最为突出，该项研究强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神，有效地印证了"凡物皆数"的观点。

那什么是形数呢？即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数看成砂子或小石子，用它们进行各式各样的排列来研究数学。如用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，等等，小石子可以摆成不同的几何图形，从而就产生了一系列的形数。

据阿尔基塔说，菲罗劳斯的学生欧律托斯就是用师石代表数，用卵石的数目表示事物。卵石计数法在古代是一种被普遍使用的计数方法，这可以从古代形成的文字中看出，拉丁文"Calculus"含有卵石和计算的意思。正是毕达哥拉斯学派采用卵石计数法进行数学研究，所以他们获得与这种计数方法有关的一些研究成果。

古希腊的毕达哥拉斯学派把自然数看成是点的集合，尤其对可以排成三角形、正方形的数情有独钟，把它们称为"三角形数"和"正方形数"。

三角形数：

即构成正三角形的点数，

正方形数：

即构成正方形之点数。实际上就是自然数的平方。另一种说法是正方形数是两个相继三角形数之和，图示如下：

长方形数：凡复合数中非恰好是正方形数者为长方形数。

多角形数：五角形数、六角形数、……。完全数：若某数恰好等于它所有因数（包括1，但不包括该数本身）之和。例如，6=1×2×3=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496……

盈数：若某数大于其因数之和称为盈数。亏数：某数小于其因数之和称为亏数。

亲和数（或友数）：若一数是另一数的因数之和，反之亦然，则该两数为亲和数。例如，284与220是亲和数，因为220的因数1，2，4，5，10，11，20，

22，44，55，110，其和为284，而284的因数1，2，4，71，142之和是220。

如果把三角形数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，… "一层一层摞起来"，就可以形成"四面体数"：1，4，10，20，35，56，84，120，…

同样，如果把正方形数：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，… "一层一层摞起来"，就可以形成"金字塔数"：1，5，14，30，55，91，140，204，…

虽然历史片断没有提供精确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派发展并完善了自己的认识。他们开始把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的具体化。有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛劳斯（Philolaus）的论述："如果没有数和数的性质，世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚了解…。"

毕达哥拉斯形数解题应用举例

1.（2020•安徽模拟）如图，一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把数1，3，6，10，15，21，……称为"三角形数"；把1，4，9，16，25，……称为"正方形数"。同样，可以把数1，5，12，22，……，称为"五边形数"，

将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：

（1）按照规律，表格中a＝____，b＝_____，c＝______；

（2）观察表中规律，第n个"五边形数"是　　。

【解答】：（1）∵前6个"三角形数"分别是：

【点评】此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题。

2.（2019秋•门头沟区期末）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常用小石子摆成各种形状来研究数学问题。

如图1，由于这些三角形是由1个，3个，6个，10个，…小石子摆成的，所以他们称1，3，6，10，…，这些数为三边形数；类似的，如图2，他们称1，4，9，16，…，这样的数为四边形数。

（1）既是三边形数，又是四边形数，且大于1的最小正整数是_____；

（2）如果记第n个k边形小石子的个数为M（n，k）（k≥3），

那么易得M（1，3）＝1，M（2，3）＝3，M（2，4）＝4。

①M（3，3）＝_____；M（9，4）＝______；

②M（n，3）＝_____；M（n，4）＝_____；

③如果M（n，3）＝55，那么n＝_________；

【解析】：（1）∵1，3，6，10，…，这些数为三边形数，1，4，9，16，…，这样的数为四边形数，∴既是三边形数，又是四边形数，且大于1的最小正整数是36；故答案为36；

（2）①根据题意得，第3个三角形数是6，第9个四边形数是92＝81；

故答案为6、81；

毕达哥拉斯形数奇妙的性质

通过形数，毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系，有效地印证了该学派"万物皆数"的观点。自然数、三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数之间，还有一些奇妙的性质。比如：

1、从1开始的连续自然数的立方和，等于相应的三角形数的平方。如,

从1开始的前3个自然数的立方和是13＋23＋33＝1＋8＋27＝36，而第3个三角形数是6，62也等于36。从1开始的前5个自然数的立方和是13＋23＋33＋43＋53＝1＋8＋27＋64＋125＝225，而第5个三角形数是15，152也等于225；

2、任意两个相邻的三角形数的和，都是正方形数。如， 三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，…中，3＋6＝9，21＋28＝49，45＋55＝100，而9、49、100都是正方形数； 而下面这条新的性质就更加难以想像： 　

3、任意两个相邻的四面体数的和，都是金字塔数。如，四面体数

1，4，10，20，35，56，84，120，…中，1＋4＝5，4＋10＝14，10＋20＝30，20＋35＝55，35＋56＝91，56＋84＝140，84＋120＝204，而5、14、30、55、91、140、204都是金字塔数。

三角形数、正方形数、四面体数、金字塔数，都是自然数的化身。自然数就是这样，既朴实无华又奥妙无穷。

最简单的几何形数就是下图所示的三角形数，它们依次为1、1+2、1+2+3、1+2+3+4 …，第n个三角形数是 1+2+3+…+n = n(n+1) /2

他们特别喜欢第四个三角形数，因为它的三边数字之和是4，而毕达哥拉斯学派认为自然是四元性的，例如几何学中的点、线、面、体，构成物质世界的土、水、气、火四种元素等，他们用一个抽象的概念 "四象"加以概括。

第四个三角形数10在毕达哥拉斯学派那里更有特殊的意义，他们相信10是一个理想数目，代表整个宇宙，可由10种对立统一的范畴来描述，即奇与偶，一与多，左与右，直与曲，正方与长方，有界与无界，雄与雌，善与恶，动与静，光明与黑暗。 晚期毕达哥拉斯学派断言移动的天体共有10个，宇宙的中心是一团火球（非火星），地球、太阳、月亮、五大行星，以及恒星所在的天球都围绕它旋转，这样一共是9个球，还有一个反地球位于中心火球的另一面以相同于地球的速度旋转，因此地球上的人看不见它。古希腊没有中国、印度那样好的记数制度，因此毕达哥拉斯的几何形数在某种程度上扮演着代数与数论的作用。

毕达哥拉斯学派还发现了数与音乐之间的神秘关系，比方说一根拉紧的弦弹出的音调是do,那么取其长度的一半，弹出的音调就是高一均的do,如取原长的2/3,弹出的音调就是so.这几个音一起弹奏是悦耳的，所以叫谐和或调和。1/2,2/3,1这三个数的倒数2，3/2,1成等差数列，那么原来的三个数1/2,2/3,1就叫做调和数列，这就是调和数列名称的起源。

他们发现了数与音乐和谐之间的关系，发现了数与几何图形之间的关系，发现了数与天体运行的关系。

也因此毕达哥拉斯学派的学习课程分为四科：数的绝对理论，算术；数的应用，音乐；静止的量，几何；运动的量，天文。称为四道。而中国古代有四术：诗、书、礼、乐。中西方交相互映。

下面是美国数学史家莫里斯•克莱因《古今数学思想》中给出的更多例子。

正方形数，依次为1, 4, 9, 16 … n2。如上图在某个正方形数内画一条斜线，可知两个相邻的三角形数之和等于一个正方形数即 (n/2)(n+1)+[(n+1)/2](n+2) = (n+1)²。

如图在正方形数内画一条成直角的折线，折线内侧是一个正方形数，外侧就是相应的矩形数，可以看出 n²+(2n+1) = (n+1)² 和1+3+5+…+(2n-1) = n²。

一般地说，作出平方数n²的图形之后，再镶上一个曲尺形

的边，点数是2n+1，就得到下一个平方数.即n²+（2n+1）=（n+1）².

上图毕达哥拉斯正方形矩形，图曲尺形叫做薯折形（gnomon），这字的原意是指一根直立的杆，观测日影的位置以定时刻，也就是日.后来和水平尺连起来，构成一个画直角的工具，同时也可以测日影.在中国叫做"矩"，它的用处很大，现今仍然是木工不可或缺的器具.在欧几里得《几何原本》中，馨折形的意义有所推广，它指在平行四边形的一个角上截去一个相似的平行四边形后所剩下的图形，如图4的阴影部分.后来再进一步推广。类似地，可用点子排出下面图形中五角（边）数，六角（边）数等等.

还有多边形数，如下图的五角（边）数，六角（边）数。第n个五边形数是

1+(1+3)+(1+2•3)+(1+3•3)+…= (3n²-n)/2 ，第n个六边形数是

1+(1+4)+(1+2•4)+(1+3•4)+…= n(2n-1) 。

毕达哥拉斯学派的学者甚至将这种数形结合的思想推广到三维空间，从而构造出了立体数。例如，前四个三棱锥数为

于是，第n个三棱锥数为

由此可见，毕达哥拉斯形数是多么神奇和神秘，充满了无穷的魅力。

1796年7月10日，数学家高斯在日记中写道： "ErPHKA! num＝△＋△＋△"。这里的ErPHKA是希腊文"发现"或"找到"的意思。到底是什么发现让高斯如此兴奋？原来他找到了"自然数可表示为三个三角形数之和"的证明（num为数的缩写，△表示三角形数）。