线性代数知识点总结汇总图，线性代数知识点总结汇总高中

线性代数知识点总结1行列式(一)行列式的概念和性质1、逆序数)所有逆矩阵的总数2、行列式的定义(不同行的不同列的要素的积代数和3、行列式的性质) )置换矩阵)、不改变行列式的值)2) 2行)、行列式的变化在行列式中，如果某行)列)的元素都是两组数之和，则此行列式等于两个行列式的和。 )在某行(列)上乘以k，再加到另一行(列)上，行列式的值也不会改变。 )6)两行成比例，行列式的值为0。 (二)重要行列式4、上(下)三角)主对角线)行列式的值等于主对角线元素的乘积5，副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积

添加图像注释，长度不超过140个字符(可选) 6，对于Laplace展开表达式( ( a为m次矩阵，b为n次矩阵) )

编辑图片注释，使其不超过140个字符(可选7，n阶) n )2)范德蒙行列式

编辑图像注释，用140字以下(任意)的数学归纳法证明8、对角线的要素为a、剩下的要素为b的行列式的值。

追加图像注释，140字以下(任意)三)行)每列展开9，每行展开定理。 )1)任一行)列)的各要素和与其对应的代数余式积之和等于行列式的值)2)行列式的某行)列)的各要素和其他行)列)对应的要素的代数余式积之和等于0 )四)行列式|b|(3)|at

添加图片注释，140字以下(可选)7)如果a和b相似，|A|=|B|)5)克莱姆定律11，克莱姆定律()1)如果非齐次线性方程的系数行列式不为0，则方程是唯一的解

编辑图像注释，使其不超过140个字符。 (可选)2)如果非齐次线性方程没有解，或者有两个不同的解，则其系数行列式一定为0 )3)如果齐次线性方程的系数行列式不为0，则齐次线性方程只能求解0； 如果方程有非零解，则一定有D=0。 2矩阵(一)矩阵的运算1、矩阵乘法的注意事项)矩阵乘法中要求前列和后行一致； )2)矩阵乘法不满足交换律(虽然因式分解的公式对矩阵不适用，但在B=E，o，A-1，A*，f ) a )的情况下，可使用交换律)3) AB=O可推出A=O或B=O 2、转置性质( 5条)1) A B ) t=ATBt )2) kA ) t=kat )3) A B ) t=btat(4)|A|T=|A|(5)5) ) at ) T=A )2) ( 5条(1) ka (-1=1/ka-1 ( k0 ( )2) ) AB )-1=(A-1 ) a-1求法： (1) a根据抽象矩阵)定义或性质求解)2) a是数字矩阵( A|E ) 8、初等变换与初等矩阵的性质： (1)初等行(列)变换相当于乘以左(右)初等矩阵2 )初等矩阵都是可逆矩阵，且EIJ-1=EIJ(I，j两行互换)； ei-1(c )=ei )1/c )第I行)列) xc ) Eij-1(k ) k ) (第I行) xxxkxj ) )矩阵的秩9，秩的定义：非零子公式的最高位数注： (1) r ) (3) r ) a )=r ( r=1，2，n-1 ) r次幂式不是零，且所有r 1次幂式都是0。 10、秩性质： ( 7条()1) a为mn次矩阵时，r(a(min ) m，n ) )2) r ) ab ) )3) r ) ab )min{a ) ) a ) )。 r(b ) (4) r ) ka )=r(a ) ( k0 ) )5) r ) a ) ) a ) ) c是可逆矩阵( ( (6) r ) a )=r ) at ) ) ATA ) ) r ) 65 (2) 伴随矩阵的性质( 8条) )1) aa*=a*a=|ea*=|a-1(2) ( kA )=kn-1a*(3) AB ) ) ) a|a|a-1 ) 65 r(a* )=1) r ) r(a* )=0) r(a ) ( n-1 ) )块矩阵13、块矩阵的乘法运算：要求前列后行的分割法相同。 14、反求分块矩阵：

编辑图片注释，添加140个以下(可选) 3个向量(1)向量的概念和运算1、向量内积(，)=T=T2、长度定义(||||=

编辑图像注释，140个字符以下(可选) 3、正交定义(，)=T=T=a1b1 a2b2 … anbn=04、正交矩阵的定义) a是n次矩阵，aat=ea-1=atata=e|a( ) ) )系数矩阵的秩与扩大矩阵的秩相等，用于大问题的第一步的验证) 6，线性表现的充分条件) )1，2，…，s线性无关， 7，线性表示的求法：(大题第二步)1，2，…，) (1，2，…，s|)初等行变换)行最简形|系数)行最简形)各行的前0个数为1，其余元素均为0 )3)线性相关和线性无关8，线性相关注意事项(1)线性相关=0)2) (3) r )1，2，…，s )即秩小于个数，特别是n个n维串矢量1，2，…，n的线性相关)1) r(1，2，…，n ) )2) |1，2 n 1个n维向量一定是线性相关11，线性无关的充要条件向量群1，2，s线性无关)1)任何向量都不能用剩下的向量线性表示。 (2)齐次方程式)1，2，s ) x1，x2，xs ) T=0只有零解)3) r )1，2，s )=s特别是n个n维向量1，2， 次数相等时，与线性无关【专业知识的补充】(1)即使在矩阵的左边乘以满秩矩阵(秩=列数)，矩阵的秩也不变。 即使将全秩矩阵放在矩阵的右侧，矩阵的秩也不会改变。 )2)与n维列向量1，2，3的线性无关，1，2，3可以用其线性表示。 即，如果(1，2，3 )=(1，2，3 ) ) c，则为r )1，2，3 )=r ) c )，线性无关。 r(1，2，3 )=3r(c )=3 |C|0 (四)极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组与非唯一组的秩15、向量组的秩：极大无关组中向量的个数与向量组的秩对比矩阵的秩：非零子式的最高位数注：向量组1， s )的秩相等的16、极大线性无关组的求法(1)1，2，s是抽象的)定义法)2)1，2，s是数字()1，2，s )初等行变换阶梯型矩阵各当n为n维向量空间v的两组基时，基变换式为1，2，n=(1，2，n ) Cnn。 在这里，c是从基底1，2，n向1，2，n的迁移矩阵。

c=(1，2，n )-1 )1，2，n )，坐标变换式：向量在基1，2，n和基1，2，n上的坐标分别为x=) x1，x2，x2，n c=(1，2，…，n )-1 )1，2，…，n )6) Schmidt正交化19，Schmidt正交化与1，2，3的线性无关)1)正交化为1=1

编辑图像注释(可选)，最多140个字符

编辑图像注释，使其不超过140个字符()2)单位化

添加图片注释，140字以下(可选) 4线性方程(一)方程表示形式和解矢量1，解形式) )一般形式)2)矩阵形式) Ax=b； )3)向量形式( a=(1，2，…，n ) 2，解的定义)=) C1，c2，…，cn ) t满足方程组Ax=b时，即A=b，是指Ax=b的一个解(贝(1)只有零解r ) a )=n ) n )是a的列数或未知数x的个数)2)非零解r ) a ) n4，有非齐次方程组。 ) )1)无解r ) a65 b ) n5，解的性质(1)如果1，2是Ax=0的解，那么k11 k22是Ax=0的解)2)如果是Ax=0的解，是Ax=b的解如果2为ax，则k11 k22 … kss将Ax=b的解(ki=1时) ( Ax=0的解)ki=0时) )2)作为1、2、…、s不依赖于Ax=b的s个线性的解，2 .s-s-1 (三)基础解系统6、基础解系统定义： (1)1，2，s为Ax=0的解) 2任意n-r(a )个不依赖线性的解可以作为基础解系统。 7、重要结论：(证明也很重要)对a施加mn次矩阵，b为ns次矩阵，ab=o )1) b的列向量全部为方程Ax=0的解)2) r ) r ) b(n )第2章，秩) 8，8 0，0，1； 解非自由的未知量得到基础解系(四)的解的结构)通解) 9、齐次线性方程的通解)所有解)为r ) a ) r、1、2、…、n-r为Ax=0的基础解系，则Ax=0的通解为k11k22… 假设n-r是Ax=0的基础解系统，是Ax=b的特解，则Ax=b的通解是 k11 k22 … kn-rn-r (这里，k1，k2，…，kn-r为任意常数) )五)公共解和同解

添加图像注释。 140个字符以下(可选)有非零解

追加图像注释，需要掌握140字以下(任意) 13，重要结论)证明)1) a为mn次矩阵，齐次方程式ATAx=0与Ax=0为同解，r(ATA )=r ( a ) )2)将a作为mn次矩阵r(a ) ) r(ab ) ) r ) b ) 5特征值、特征矢量(一)矩阵的特征值、特征矢量1、特征值、特征矢量的定义： a为n次矩阵，在以A=的方式存在数及非零列矢量的情况下，为矩阵2、特征多项式，特征方程的定义：称为|E-A|矩阵a的特征多项式(的n次多项式)。 |E-A |=0称为矩阵a的特征方程(的n次方程)。 注：特征方程为|A-E|=03，可作为重要结论写出。 (1)假设为齐次方程式Ax=0的非零解，则A=0，即为矩阵a的特征量=0的特征向量)2)如果设a的各行要素和为k，则( 1，1，…，1 ) t为特征值(3)上4、总结：特征量和特征向量求法(1) a是抽象的)由定义或性质聚集)2) a是数字)从特征方程式法求解) 5、特征方程式法)1)求解特征方程式|E-A|=0，得到矩阵a的n个特征.n注) n次方程一定是n个)的不可省略(2)解下式)iE-A )=0，则得到属于特征值i的线性无关的本征向量，即其基解系(共n-r(ie-a )个解) 6、 性质)1)不同特征值的本征矢量线性无关)2)得到k重本征值最大k个线性无关的本征矢量1n-a ) (|A|=i，I=AII(4) r ) a )=1，即A=T，n-a

(二)相似矩阵7、相似矩阵的定义)假设a、b都是n次矩阵，且存在可逆矩阵p使得B=P-1AP时，假设a和b相似，表示为A~B8。 相似矩阵的性质)1) a和b相似的情况，f ) a )和f ) b )相似的情况，b ) b的话，a和c相似的(3)相似矩阵具有相同的行列式，秩，特征多项式，特征方程式，特征值，轨迹，也就是主对角线要素的和

添加图像注释，140字以下(可选)，a可以相似对角化。 注： aI=iI(I0，为了p可逆)，因此，p的各列为矩阵a的特征值I的特征值10，相似对角化的充分条件(1) a为n个线性独立的特征值)2) a的k重特征值为k个线性独立的特征值) 11， 相似对角化充分条件) )1) a是n个不同的特征值)不同的特征值的特征值向量是线性独立的) )2) a是实对称矩阵)，重要的结论r(a )是非零特征值的个数，n-r ) a )是零特征值的个数，2 ) a是不可能相似对角化的性质)1)特征值均为实数)2)不同特征值的特征向量正交)3) a可以相似对角化，即存在可逆矩阵p的Q-1AQ=QTAQ=6的二次型(一)二次型及其标准型1，二次型)1)一般型) .xn )=d1x12d2x22其中，通过首先处方恢复原状而获得可逆线性变换和标准形式。 (2)正交变换法：通过正交变换x=Qy，使二次型为标准型1y12 2y22 … nyn2。 其中，1、2、…、n是a的n个特征值，q是a的正交矩阵注)，正交矩阵q不是唯一的，i对应于i即可。 (二)惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准型中正平方项个数称为正惯性指数，表示为p； 负惯性指数：标准型中负平方项的个数称为负惯性指数，表示为q； 规范形式： f=z12 …zp2-zp 12-…-zp q2称为二次型的规范形式。 5、惯性定理：二次型无论选择何种可逆线性变换为标准型，其正负惯性指数都不变。 注： (1)正负惯性指数不变，因此规范形式是唯一的。 (2) p=正特征值的个数，q=负的特征值的个数，p=非零的特征值的个数=r(a ) )3)合同矩阵6，定义： a，b都是n次的实对称矩阵，如果存在可逆矩阵c，则B=CTAC，a和b合同7，保持不变b相似的) B=P-1AP )相同本征值)2) a，b合同) B=CTAC )相同正负惯性指数相同正负本征值个数)3) a，b等价的) B=PAQ ) r ) 9，n元二次型xTAx的正则图A=CTC或者ctac=e(3) a的特征值都比0大)4) a的顺序式都比0大( k次的顺序式是最初的k行的最初的k列的行列式) 10、n元二次型xTAx的正规化所需要的条件(1) aii (1)如果a是正则矩阵，则ka(k&gt； 0 )、Ak、AT、A-1、A*正定)2)如果a、b都是正定矩阵，则A B为正定