数学与艺术：连接数学家和艺术家
介绍
野生动物不会创造艺术。然而，人类可能会将鸟巢视为一件“艺术品”，我们可能会发现松鼠或兔子在雪地里留下的图案令人愉悦。模式研究有时被用作数学内容的简短定义。欣赏艺术通常涉及看到绘画中的图案并将艺术家在一段时间内创作的图案联系起来。同样，鲸鱼发出的声音有时被认为是“音乐艺术”，它是否像莫扎特歌剧或马勒交响曲一样被视为艺术。然而，鸟鸣确实是鸟类之间交流的一种形式，就像长颈鹿的发声一样，尽管我们不知道长颈鹿的声音到底意味着什么。当然，“艺术”是人类交流的一种形式。什么是艺术是一个非常复杂且备受争议的问题。当杰克逊·波洛克第一次尝试通过在画布上泼洒颜料来表达自己时，许多人认为他的活动是一种自我放纵的形式，而不是艺术表达。许多人认为艺术是对美的追求，是表达艺术家“所见”的情感真实的一种方式。数学家也经常引用美和真理作为吸引他们进入数学领域并继续塑造他们对数学事业的追求的原因。我在这里的目的是引起人们对数学和艺术的狭窄部分的关注——视觉艺术（设计）和建筑（如绘画/雕塑）之间惊人的丰富联系。
数学和艺术之间的一种联系是，一些被称为艺术家的人需要发展或使用数学思维来表达他们的艺术构思。这些艺术家包括卢卡·帕乔利（Luca Pacioli，约1145-1514 年）、列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519 年）、阿尔布雷希特·丢勒（Albrecht Drer，1471-1528 年）和M.C.埃舍尔（1898-1972）。另一个联系是，一些数学家经常在成为艺术家的同时从事数学研究。
数学家经常谈论美丽的定理和美丽的定理证明。他们也经常对证明或定理产生情绪反应。 “无聊”的数学事实有漂亮的证明，而“美丽”的定理也有“令人不满意”的证明。艺术家和艺术评论家也谈论美。艺术一定要美吗？请记住，弗朗西斯·培根的画作可能对每个人来说都是美丽的，也可能不是，但很少有人对他的作品没有反应。艺术注重情感的交流，也注重美。有些人可能在M.C. 的许多内容中看不到什么情感内容。埃舍尔的版画，但很难不被他创造的图案所“感动”，尽管对他的作品的熟悉使得现在做类似事情的人看起来都是“模仿者”。有些人认为埃舍尔的版画很美，但与伦勃朗的伟大作品不一样。就像艺术本身一样，美、交流和情感的问题都是复杂的学科，但此时的数学也是如此。
艺术家的数学工具
艺术诞生于人类通过生活经历表达自己的尝试。艺术可以采用写作、音乐、绘画、建筑和雕塑以及其他各种表达形式。在盘子、餐具和灯具等日常用品中，功能性和美观性的结合也是艺术。数学家可以通过为艺术家创造各种“工具”来帮助他们。这些工具有时包括显示艺术家能力极限的定理。人们无法尝试在欧几里得三维空间中表示具有五个以上正则（面是正则凸多边形）的凸多面体，因为数学表明只有五个这样的正则或柏拉图实体。十二面体（有12 个面的立体）可用于在每个面上放置1 个日历月份，但在欧几里得三维空间中，正凸多面体的面数为4、6、8、12 或20不可能有其他的了。然而，还有一种凸对称立体，菱形十二面体（12个全等的菱形面），可以用来显示一年中的月历。普通十二面体有120 个对称点，而菱形十二面体只有48 个（图1）。
图1：两个对称的十二面体。对于这两个多面体，当它们位于一个平面上时，还有另一个面位于平行平面上。这意味着人们可以在这些固体的表面上显示一年中的12 个月，尽管人们几乎从未见过左侧的菱形十二面体这样做。
更重要的问题是，艺术家能否在一张平面纸上画出他们在观察三维世界时所感知到的现实。如果你看看古埃及和美索不达米亚艺术中场景再现的尝试，你会发现与人类视觉系统相关的现象并不总是受到尊重。我们都熟悉这样一个事实：离我们很远的物体看起来比实际小，并且平行线似乎在一定距离处会聚。任何见过远处延伸的笔直铁轨的人都会熟悉这种现象。这些特征现在是表示三维物体（通常在平面上）的标准部分。在文艺复兴之前，这些特征并没有被完全理解。人们常说艺术家使用“透视”（或“线性透视”）来增加其表现的真实性。理解视角所涉及的问题和想法非常微妙，并且经过了很长一段时间的演变。
学术界和实践者之间一直存在着关于“视角”思想的互动，类似于理论与应用之间的互动，这种互动在所有数学思想付诸实践的领域都是如此。艺术家可能希望比过去更好地解决问题，并且并不总是关心证明所使用的技术始终有效或具有艺术家想要的属性的细节。对这种情况的一个更现代的类比是，如果当前路由电子邮件数据包的系统平均需要7.2 个单位的时间，而一个人平均需要6.5 个单位的时间就发现了一种路由方法，那么即使没有人发现这样的系统，人们不会担心证明最好的系统可能在6.487 个时间单位内完成这项工作。
关于透视的问题在很大程度上符合数学建模问题的精神，数学建模的部分涉及使用数学来深入了解数学以外的学科。在通常的方法中，人们专注于对平面画布上三维空间中场景的感知，假设该场景是通过“单点眼睛”观看的。然而，我们都知道人类有双眼视觉！我们正在攻击这种双眼视觉。我们今天正在攻克这样的双眼视觉问题，因为我们拥有解决此类问题的数学工具，而过去的艺术家/数学家不得不采用更简单的方法。
有许多人的名字为数学家（但可能不为公众）所熟知，他们对透视理论做出了贡献（图2）。尽管每个学微积分的学生都知道布鲁克-泰勒（1685-1731）的名字和他在幂级数方面的工作，但有多少数学家知道泰勒写过线性透视理论？另一方面，每个艺术史学家都会认识皮耶罗·德拉·弗朗西斯卡（Piero della Francesca，约1412-1492 年）的名字，但是这些艺术史学家（或数学家）中有多少人熟悉他对数学的贡献？贡献？同样，吉拉德·笛沙格（Girard Desargues，1591-1661）因其在射影几何方面的工作而为几何学家所熟知。平面上的射影几何涉及点和线，但与欧几里得几何中的线可以平行（从不相交或相交）不同，在射影平面中，任何一对线总是相交。很少有与艺术相关的人熟悉笛沙格的作品。下图（“笛沙格构形”的一部分）对于射影几何的学生来说很熟悉，可以将其视为观察位于不同平面上的三角形平面图的“眼睛”（点）（图3）。在这里，我们认为平面上的绘图代表了我们在三维空间中的想法。
图2 布鲁克·泰勒肖像
图3 两个三角形被认为在三维空间中的不同平面上，并且它们对应的顶点经过一点。
该图的实际情况是，如果“对应三角形”的边不平行，那么这些边在三个点处相交，这三个点必须都在同一条线上。人们可以在欧几里德平面上陈述德萨格的发现的不同版本，但考虑结果的自然位置是在实射影平面中，从几何理论的角度来看，它提供了欧几里德平面替代的几何形状。在欧几里得几何中，使用了John Playfair（1748-1819）的一个公理，即给定一个不在直线l上的点P，存在一条唯一的通过P到l的平行线，这更直观地捕捉到了有点复杂的欧几里得第五公设。在实射影平面中，成对的不同直线总是相交的；在实双曲平面中，给定一个不在直线l 上的点P，将有无数条平行（不相交）线穿过P。双曲几何很有趣，但这里不会讨论，尽管我们稍后会看到，有时艺术家希望使用双曲几何的思想来帮助以欧几里得几何无法做到的方式表达思想。约翰·兰伯特（John Lambert，1728-1777）也对透视数学做出了系统的贡献，他因欧几里得第五公设（或公平公理）不成立的结论而得名。今天，我们更好地理解，在理论数学和“现实世界”中可能行为的模型中，都有欧几里得几何的替代方案。虽然视角是一个伟大的领域，但这并不能阻止对这个主题的持续思考。对于那些习惯于使用一点或两点透视的人来说，有D. Termes 的专着，他用6 点透视解决了这个问题！
与线性透视工具相关的是几何学的一个分支，称为画法几何。在19 世纪，画法几何被广泛教授，特别是在工程学校，而今天这门学科还没有那么广为人知。部分原因是计算机软件使不熟悉画法几何的人们能够执行使他们的显性知识日益过时的任务。画法几何提供了一组在二维空间中表示三维对象的过程。二维表示可能位于一张纸上或计算机屏幕上。这些技术对于工程师、建筑师（尤其是弗兰克·盖里）和设计师来说非常重要。例如，设计一架大型飞机可能需要数万张图纸。这一主题的根源在于阿尔布雷希特·丢勒（Albrecht Drer，1471-1528）和加斯帕德·蒙日（Gaspard Monge，1746-1818）等人物。如果艺术家、创意设计师、雕塑家或建筑师无法表达他/她如何制作或以其他方式组装他们想要制作的“创意”设计的概念，那么所涉及的工作可能无法实现。画法几何通过提供如何在平面上表示所提议的三维创作的程序来支持构造性制造和创意设计。
为了说明其中一些问题，下图用蓝色显示了平行线如何“将三角形投影到一条线上”，而红线显示了同一个三角形如何从“眼睛”“投影”到同一条线上。直观上，平行投影可以被认为是“眼睛”从“无限远”看到的三角形的投影。 A’、B’ 和C’ 显示三角形顶点通过“平行”投影移动的位置，而A’、B’ 和C’ 显示顶点通过“圆锥”投影移动的位置（图4）。
图4 将三角形“投影”到平面直线上的两种方法。
这是一个相当可爱的结果，它是由数学和艺术家在平面上表示三维空间的需要之间的相互作用产生的。这个结果被称为波尔克定理。卡尔·威廉·波尔克（Karl Wilhelm Pohlke，1810-1876 年）是一位德国画家，也是一所艺术学校画法几何学的教师。他于1853 年提出了这个结果，尽管第一个证明似乎是由K.H.A. 提供的。 Schwarz (1843-1921)于1864年提出。该定理被不同程度地引用。这是一个版本。
波尔克定理：给定三条指定长度（不一定相同）的线段相交于平面上的一点（不一定相同），则存在三条长度相等的直线段在三点上成直角相交：维空间，使得这些线段的平行投影将它们映射到平面中三个选定的直线段上。
直观上，这意味着如果想要在平面上绘制立方体，则可以为立方体的角绘制任何三元组线，因为立方体在三维空间中具有映射到给定三元组的某个位置。因此，在下图中，左手空间轴可以完成形成一个“立方体”，并且三维空间中存在一组三个正交线段，可以使用平行线映射到左手空间轴预测优越。空间坐标轴顶点的角度（以度为单位）为90、135 和135。一般来说，三个角度之和为360 度（图5）。
图5：用作框角的三条线。
波尔克定理有时被称为轴测基本定理，它处理在平面上绘制三维物体的问题，就像图画几何一样。
对称
艺术评论家开发了一种讨论和分析艺术的语言。事实证明，在分析艺术时，一些数学知识是有用的。一些艺术作品或艺术作品的一部分由令人赏心悦目的事物组成，因为它们在数学意义上是对称的。尽管对对称性的研究长期以来一直隐含在数学中，但在某些方面对其进行系统研究却是最近的事。因此，菲利克斯·克莱因（Felix Klein，1849-1925）提请人们注意这样一个事实，即对不同类型的几何进行分类的一种方法是通过观察几何变换来保留每种几何的有趣属性。特别是，在欧几里得几何、球面几何或Bolyai-Lobachevsky 几何中，将几何变换视为轮廓是有意义的。等价变换是一种保持距离的变换。在欧几里得平面中，完整的轮廓列表包括平移、旋转、反射和滑移反射。
分析对称性的一个主要工具是群的概念，自认为是代数学家或几何学家的数学家们都在研究群的概念。使用群或对称性的想法是富有洞察力的，但通常涉及实际艺术被“建模”的现实，因为它很少满足所涉及的严格的数学要求。群的概念有着丰富而复杂的历史，与方程论的研究有关（试图证明人们无法找到求解五次多项式方程的公式）。到19 世纪末，群论被用作帮助晶体学家理解晶体和其他自然结构的对称性的工具。出于这种兴趣，人们进行了使用群理论考虑对镶嵌和图案进行分类的工作。
艺术家、建筑师和设计师（服装和家具）经常在丝带或丝带上使用图案。以下是腰带上这种由英文字母制成的“无限”对称图案的一些示例。使用不同的图案似乎可以产生无穷无尽的变化（这里的图案都是由字母组成的，但可能还有更多）。
.L L L L L.
……呼呼呼……
.pbpbpb.
.pqpqpq.
.bqbqbq.
……哇哇哇……
.C C C C C.
.X X X X X.
……呃呃呃呃……
.啊啊啊啊.
.p d p d p d .
.b p b p b p .
. db db db db .
事实证明，这13 种图案中的一些“看起来”并不相同，但有一个令人惊讶的数学结果表明，任何楣图案在数学上都是这7 种图案之一，因此您可能想看看上面的哪一种图案有相同的也有不同的。 1924 年，Speiser、Plya 和Niggli 在一篇联合论文中讨论了使用组对楣图案进行分类。 1980 年左右，Branko Grnbaum 和Geoffrey Shephard 发现了一种概括条形图案概念的方法，从而产生了15 种不同类型的图案。当被认为相同的事物通过识别一些区分它们的“新”属性而被视为不同时，数学往往会得到发展。
人们可以看到单个图案或装饰品的对称性。此类图案的示例（以蜡染中使用的图案为例）如下所示。此类装饰品通常具有旋转对称性和/或反射对称性（图6）。
图6：两个对称图案，但请注意，对称性在数学上并不“完美”
可以从简单的模式构建更复杂的模式，如下所示。该图案在一个方向上具有平移对称性。这种设计或图案称为饰带或饰带图案。将此图视为由三个处于“垂直”位置的独立饰带组成，在上方和下方两个方向上无限延伸（图7）。
图7 二维对称图案，但三列中的每一列都可以认为是楣图案
用于创建该楣图案的图案可以彼此隔离或者可以沿着楣压缩成“连续”几何图案。如果图案在两个方向上具有平移，则该图案通常称为壁纸图案。壁纸图案通常被认为是一张白纸，背景上画有对称图案，该图案以单色显示，例如黑色。然而，数学家已经研究了枚举许多颜色的对称图案的问题，这些图案在两个方向上都有平移。因此，双色调楣图案有17种，双色调壁纸图案有46种。
尽管艺术家可能会选择绝对严格地遵守图案所有细节的对称性，但这对于“部落”艺术家或工匠来说并不常见。因此，如果人们仔细观察一张乍一看非常对称的地毯，人们往往会发现，在更详细的层面上，无论是在设计的使用上，还是在不同部分使用的颜色上，它并不完全对称。设计的。可以看出，这些小自由度要么在没有机器制作图案的情况下很难准确实现，要么艺术家想要有意识地做出如此小的改变。在分析这种图案的对称性时，在应用一些关于对称性的数学分类之前，理想化艺术家所做的事情可能是有意义的。
在上面显示的图案中，没有出现任何颜色。我们有白色背景上的黑色设计。然而，当讨论图案的对称性时，人们可以在不考虑颜色或考虑颜色的情况下检查所涉及的对称性。如果您从对称角度观察下面的蜡染，则必须理想化（建模）正在发生的事情才能使用数学。这种蜡染在一个或两个方向上不是无限的。您必须决定使用什么颜色以及背景颜色（图8）。
图8 对称图案
许多人发现使用数学来确定他们所看到的整个或部分设计的不同解释涉及哪些对称图案很有趣。 E. Fedorov（1859-1919）在1891年的一篇论文中列出了17种二维图案。由于这篇论文是用俄语写的，所以没有受到广泛的关注。 P.Niggli (1888-1953) 和G.Plya (1887-1985) 在20 世纪20 年代开发了7 种一维图案和17 种二维图案；正是通过这项工作，分析对称图案的数学方法变得更加广为人知。 H. Woods 在20 世纪30 年代完成了这项工作，作为色彩对称性的延伸。原来有46个双色图案。随后，在研究高维空间中的对称性和使用各种颜色方面做了大量的工作。令人惊讶的是，Branko Grnbaum 和Geoffrey Shephard 最近在一系列联合论文和他们的开创性著作《Tilings and Patterns》（1989）中探讨了图案、平铺及其对称性的许多扩展和方面。特别是，他们探索了主题的使用和对称性之间的相互作用。例如，这使他们能够将7 种“饰带”图案和17 种“壁纸”图案分类为“更细粒度”的类别。不幸的是，这项工作并没有像应有的那样广为人知。许多人在将对称性和模式的数学知识扩展到数学以外的学术界和普通大众方面发挥了重要作用。这类书籍中最有影响力和最早的书籍之一是Hermann Weyl（1885-1955）的书《对称》。另外值得注意的还有Doris Steschneider、Blanco Grnbaum（1929-2018）和Jeffrey Shepard（1927-2016）、Marjorie Senechal、Michelle Emerl、H.S.M. Coxett（1907-2003）和Dorothy Washburn（人类学家）、Donald Crow 和Kim Williams。这些人呼吁人们关注使用对称性作为工具来深入了解织物、民族设计和文化艺术品、建筑和艺术的各个方面，以及埃舍尔等艺术家的作品，其作品对那些有数学天赋的人很有吸引力。
不对称的
对称的艺术作品可以追溯到很久以前，例如马赛克瓷砖。罗马的例子存在于意大利和非洲。虽然对称物体似乎像艺术和数学一样吸引人们的注意力，但“随机”结构也是如此。早期艺术主要是具象的，有人物、动物、房屋和全景之美。然而，艺术也开始包含非现实作品。有趣的是，偶然事件的数学理论的发展比“确定性”（非偶然）事件的数学理论晚得多。此类艺术的例子包括各种分形形状。也许令人惊讶的是，当使用涉及复数的函数的颜色编码绘制点时，生成的图像既美观又具有视觉吸引力（图9）。
图9 非常有吸引力的不对称图案。这是一个涉及分形的例子。 （维基百科提供）
数学艺术家和艺术数学家
毫不奇怪，考虑到数学固有的美学品质，许多数学家（和计算机科学家）选择不仅通过证明定理，而且通过艺术创作来表达自己。其中有很多人，包括赫拉曼·弗格森、纳撒尼尔·弗里德曼、乔治·哈特、库斯·维尔霍夫、迈克尔·菲尔兹等等。与这些同时也是艺术家的职业“数学家”相辅相成的是一群虽然不是数学家但从数学现象中获得巨大灵感的人。这些人的例子包括布伦特·柯林斯、查尔斯·佩里和索尔·莱维特。毫不奇怪，许多建筑师的工作都受到数学和计算机系统“技术能力”的影响。尽管可能只与数学相关，但杰出建筑师弗兰克·盖里(Frank Gehry) 讨论了CAD（计算机辅助设计）软件如何使他能够以另一种方式表达自己。否则那是不可能的。结构工程与数学有很多联系。如果您不熟悉圣地亚哥·卡拉特拉瓦的作品，那么您一定会喜欢的。许多数学家发现他的桥梁和其他结构令人着迷，并且具有数学风味。还有各种尝试使用算法来生成艺术。其中一些工作非常有趣。
对于公众来说，有一位艺术家的作品也许比其他任何艺术家都更被认为具有数学品质（图10）。
图10是埃舍尔的三色图案。 （维基百科提供）
这位艺术家是M.C.埃舍尔（1898-1972）。这是事实，尽管埃舍尔并不认为自己有数学天赋。然而，尽管埃舍尔缺乏正式的数学研究，但他还是用数学方法处理了许多艺术问题。多丽丝·沙茨施奈德(Doris Schattschneider) 在呼吁公众关注埃舍尔的作品及其与数学的关系方面发挥了重要作用。数学问题不仅启发了埃舍尔，他的工作也启发了其他人创作与数学相关的艺术（图11）。
图11 荷兰特文特大学校园内的埃舍尔风格雕塑。 （维基百科提供）。
埃舍尔的一些作品涉及可以在看似三维平面上绘制的图画，但从物理上不可能的意义上来说，它们是不可能的物体。这些与视错觉相关的物体既是数学的又是艺术的（图12）。
图12 三种视错觉。彭罗斯楼梯、不可能三叉戟和彭罗斯三角。 （维基百科提供）。
埃舍尔至少受到一位非常著名的数学家（几何学家）哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特（Harold Scott MacDonald Coxeter，1907-2003）的影响。埃舍尔向科克塞特传达了他在有限区域内表达“无限”时遇到的困难。 Cockset 的回应是展示了曲面细分之间的联系，该曲面细分涉及双曲平面上的无限数量的曲面细分，但可以在欧几里得平面的有限区域内绘制。考克塞特解释了这种数学联系的细节。令人惊讶的是，Cocksett 一直到90 多岁仍继续出色地研究数学（图13）。
图13. 著名几何学家和代数学家Harold Scott MacDonald Coxeter（他的朋友们称为Donald）的照片。 （维基百科提供）
虽然数学家和艺术家合作的例子有很多，但在布里奇斯组织之前，罕见的是艺术和数学社区在“大学”环境中相互作用和蓬勃发展。
黑山学院（1933-1957）是北卡罗来纳州的一所实验艺术学校，成立于1933年。与该学院相关的杰出艺术家包括：约翰·凯奇（1912-1992）音乐、梅斯·坎宁安（1919-2009）舞蹈、沃尔特·格罗皮乌斯（1883） -1969）建筑师，威廉（1904-1997）和伊莱恩（1918-1989）德科宁，弗朗茨·克莱因（1910-1962）。罗伯特·马瑟韦尔(Robert Motherwell，1915-1991) 和多萝西娅·洛克本(Dorothea Lockburn，1932-) 还值得注意的是，(理查德) 巴克敏斯特·富勒(Richard) Buckminster Fuller (1895-1983) 似乎在1949 年夏天在那里进行了一些开发工作和“Geodome”实验1949 年，许多房屋和植物园的建筑中都出现了更饱满的圆顶。与富勒圆顶相关的数学思想引起了很多关注（图14-15）。
图14：“富勒”圆顶的照片。 （维基百科提供）
图15：与Fuller Dome 相关的多面体关系图。内部顶点只有5 或6 度的近三角剖分。 （维基百科提供）
富勒的圆顶涉及凸三维多面体的研究。多面体的所有面都是三角形。多面体的顶点正好有12个顶点，每个顶点有5条边，h（大于1）个顶点正好有6条边。凸多面体的集合称为富勒烯，其中上述多面体的顶点和面的角色是“相反的”。这些凸多面体的每个顶点有3 条边，正好有12 个面有5 条边，h（大于1）面有6 条边。两种类型的多面体模型在物理上都非常有吸引力，并且具有优美的数学特性。
黑山学院促进了数学和艺术之间的联系，其中一个原因可能是杰出数学家马克斯·德恩（Max Dehn，1878-1952）在那里的教学职位。邓恩虽然在数学的许多领域工作过，但主要以其在拓扑和几何方面的工作而闻名。事实上，邓恩出名的部分原因是他解决了希尔伯特第三个问题。大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）是二十世纪初数学最重要的贡献者之一。 1901 年，他提出了一系列著名的问题，他相信这些问题如果得到解决，将为大多数数学家提供关注，带来重要的新见解和方法。其中一个问题的本质是，是否有可能将两个相同体积的三维凸体切割成多面体碎片，然后将它们重新组装成另一个多面体碎片。德恩证明，这对于相同体积的立方体和正四面体来说是不可能的。他证明，如果两个多面体具有今天称为德恩不变量的相同东西，则这种分解是可能的。稍后将简要讨论该问题的二维类似物。
几何艺术
虽然一些与几何抽象相关的艺术家可能没有受到数学考虑的“启发”，但他们的作品经常在美学和/或情感上与数学家交谈，并且经常向几何学家提出数学问题。这类艺术家的一个很好的例子是蒙德里安（1872-1944），他的许多最著名的作品都围绕几何形状，特别是矩形（图16）。
图16 蒙德里安的画作。 （维基百科）
他的一些工作鼓励数学家分析何时可以将矩形分解为具有有趣属性的其他矩形。此类问题的典型示例可能是：
边长为整数的正方形何时分解为没有一对全等正方形的其他正方形？这个问题引出了“完全平方”的概念。
这个问题有一个复杂的历史，但一项值得注意的贡献是罗兰·布鲁克斯(Rowland Brooks，1916-1993)、塞德里克·史密斯(Cedric Smith，1917-2002)、阿瑟·斯通(Arthur Stone，1916-2000)和威廉·图特(William Tutte，1917-2002)，当时他们还是剑桥大学的本科生。
虽然蒙德里安可能是最著名的这样的艺术家，但也有许多艺术家被几何绘画所吸引。简短的清单包括，但不试图包容：
Frantisek Kupka (1871–1957)
Bart van der Leck (1876–1978)
Kazimir Malevich (1879–1935)
Theo Van Doesburg (1883–1931)
Sonia Delaunay (1885–1979)
Josef Albers (1888–1976)
Ilya Bolotowsky (1907–1981)
Barnett Newman (1905–1970)
Morris Louis (1912–1952)
Ad (Adolph) Reinhardt (1913–1967)
Carmen Herrera (1915- )
Ellsworth Kelly (1923–2015)
Frank Stella (1936- )
Slavik Jablan (1952–2015)
艺术界与这种对几何形状的兴趣相关的另一个术语是硬边绘画。在这种绘画风格中，眼睛关注的对象之间的清晰过渡的方式与数学家通过定义来明确不同形状之间的区别的方式大致相同。
另一种具有数学吸引力的几何艺术涉及后来被称为光学艺术的东西。这种艺术部分与对视觉错觉的兴趣有关，但很大程度上依赖于形状和光线相互作用的“令人惊讶的”方面。
Victor Vasarely (1906–1997)
Bridget Riley (1931- )
Richard Anuszkiewicz (1930–2020)
Larry Poons (1937- )
Jeffrey Steele (1931- )
Ted Collier (1974- )
虽然几何抽象的根源可以追溯到很久以前，但许多实践艺术家仍然觉得这种交流方式很合他们的胃口。年轻一代的几何抽象艺术家正在探索许多新的方向。
多面体、密铺和剖分
绘制多面体是早期与透视画有关的想法的试验场。文艺复兴时期的艺术家们试图在历史上提到的 “阿基米德多面体 “的基础上再接再厉，虽然阿基米德的原作已经失传，但在帕普斯（290-350）的著作中讨论过这些多面体。阿基米德实体（传统上不包括柏拉图实体）是一组凸面多面体，其特性是局部的每个顶点都像其他顶点，其面是规则的多边形，也许不是所有面数都相同。令人惊讶的是，直到开普勒（1571-1630）的工作才出现了完整的重建，他发现了13个这样的实体，尽管人们可以为有14个这样的实体提出理由。帕普斯-阿基米德在古代错过了一个。阿基米德实体的现代定义将其定义为具有对称群的凸面多面体，在该对称群下所有顶点都相同。使用这个定义，共有13个实体，但没有什么理由相信古希腊的几何学家是以群组的形式来思考的，而不是以局部顶点等价的形式来思考的，也就是说，每个顶点周围的面的形态是相同的。
图17乔治·哈特的雕塑。(乔治·哈特提供)
另一位受多面体、对称和拓扑现象启发的艺术家是芭丝谢芭·格罗斯曼。她的艺术样本如下(图18)。
图18芭丝谢芭·格罗斯曼的雕塑。（维基百科提供）
图19 Magnus Wenninger制作的对称多面体模型样本。(马格努斯·温宁格提供，现已去世)
平面密铺是一种将平面无孔或与各种形状重叠的填充方式。例如，我们可以用任何三角形的全等副本来铺设平面，更令人惊讶的是用任何简单四边形的全等副本来铺设平面，无论是否凸起。瓷砖与人们在织物、地毯和墙纸上发现的艺术设计密切相关。尽管早在古代就有零星的平面密铺的不同方法，但与理解多面体所做的工作相比，平面密铺的理论令人惊讶地很少。开普勒在密铺方面做了重要的工作，但从他的时代到19世纪末，所做的工作相对较少。不幸的是，关于密铺的工作不仅是零星的，而且往往是不完整的或误导性的。Branko Grünbaum（1929-2018）和Geoffrey Colin Shephard（1927-2016）的巨著《密铺与图案》的出版，改变了这一状况。许多新的密铺问题得到了处理和解决，并产生了各种软件工具，用于创建不同种类的密铺（以及多面体和打游戏）。Daniel Huson和Olaf Fredrichs（RepTiles）以及Kevin Lee（Tesselmania）开发了非常好的密铺程序，但是这些软件过去的一些地点已经不再支持了。
A.找出A可以被切割和重组成B的最小数量的碎片。
B.找出具有吸引人的特性的碎片，A可以被切割并重组成B。这些特性可能是所有的碎片都是全等的，相似的，或者有通过一些吸引人的几何变换联系在一起的边。
Greg Frederickson收集了大量关于如何将一个形状的多边形分割成相同面积的其他多边形的资料。这些分解集中于将正多边形(可能是凸形或“星形”)分解成其他正多边形。人们可能会认为这些物体的数学规律性会带来美学上的解决方案。事实证明是这样的。
弗雷德里克森还描述了如何通过一种合适的机制，解决如何将一个多边形产生的碎片连接起来，并移动它们，以便它们创建另一个多边形。这些剖分被称为铰链式剖分。第一种将脑海中浮现的碎片连接在一起的方法是将碎片连接到它们的顶点。有这种铰链剖分的可爱例子，包括那些通过展示如何在直角三角形的两条腿上切割正方形并在斜边上组装成正方形来几何证明毕达哥拉斯定理的例子。然而，还有另一种巧妙的方法来制作铰链。这涉及到铰接边，以便沿这两条边连接的多边形可以相对于彼此旋转。这种类型的铰链被称为扭转铰链。弗雷德里克森安排了几个非常吸引人的铰链剖分，以物理方式实现，剖分的多边形部分由美丽的木材制成。这些物理模型因其美丽而在剖分背后的数学上大做文章。例如，在弗雷德里克森委托进行的一种物理实现的铰链剖分中，带孔的正六边形被扭曲铰链剖分成具有相同面积的孔的六角形。
这种剖分背后的数学原理是一种将一个有孔的六边形剖分成一个有孔的六边形的方法。基于这种剖分，弗雷德里克森巧妙地制作了一种铰链扭转剖分。这个吸引人的物体(图20)作为拼图并不是很有趣，但当人们观看两个形状之间的意想不到的变化时，就会产生一种可爱的效果，因为一个人操纵扭转铰链的碎片。
图20格雷格·弗雷德里克森的“柔性”雕塑的三个位置，它将一个带孔的凸六边形变成了一个带孔的“星形”六边形。(格雷格·弗雷德里克森提供)
折纸
传统的折纸是将一张纸折叠成复杂的形状，通常是动物或具有代表性的东西。然而，Tomoko Fusè通过普及“模块化”折纸，从数学的角度彻底改变了折纸世界。在模块化折纸中，通常从相等的纸张(通常，但不总是，正方形)开始，然后将它们折叠成相同的“单元”。然后这些单元被“编织”在一起，形成高度对称的物体，如多面体、瓷砖或盒子。通过使用适当的颜色，人们通常可以构建具有迷人对称性的各种多面体和瓷砖的迷人纸模型。单位折纸的创造性在于已经开发出来的独创性面板以及这些面板可以组装的方式。Fusè的书出现在书店的“艺术区”。有趣的是，对于有折纸经验的人来说，由于折纸折叠教学系统的普适性(例如，山折、谷折等符号)，Fusè的那些没有被翻译成英文的书籍仍然有用。
伴随着折纸结构的艺术方面，折纸的数学理论也得到了平行发展。这采取了许多方法。关于使用传统的欧几里得建筑工具直尺（无刻度的尺子）和圆规可以画出什么平面图形的详尽的数学理论有一个折纸的同伴。使用有关折纸的各种规则（公理）可以构建哪些形状？Thomas Hull、Erik Demaine和其他人也研究了与折叠和折纸有关的问题。一个主要的兴趣领域是研究可以 “平折 “的折痕模式（纸上的线条系统）。所需的数学涉及的思想和方法与过去试图理解一块平面（折纸的正方形）如何被几何变换所改变的方法有些不同，因为在变换结束时，折纸的部分会相互接触，尽管它们不会相互渗透到纸的其他部分。
折纸领域有一个非常惊人的例子。假设允许人们在将一张纸折平后沿直线进行切割，目的是将切下的碎片打开。这样可以得到什么形状的碎片呢？令人惊讶的答案是，人们可以得到任何由顶点和直线段组成的图形，这些图形都可以在平面上画出来! 例如，人们可以剪出一些平凡的东西，如字母 “I “或蝴蝶的轮廓。这个结果最初是由Erik Demaine、Martin Demaine和Anna Lubiw开发的。随后，Marshall Bern、Erik Demaine、David Eppstein和Barry Hayes对该结果提出了不同的方法。
人们可以用模块折纸制作许多不同种类的多面体物体。下面是海伦娜-维里尔的折纸模型样本（图21）。
图21：经Helena Verrill许可使用的模型。(Helena Verrill提供)
多面体的折纸模型采用的方法是，人们制作的面板成为多面体的面，因此，挑战变成了制作具有不同边数和相同边长的面板。人们还可以制作 “金字塔 “式的多面体。我的意思是，实体代表凸面多面体，每个面都竖立着金字塔。(这些不是几何学家使用这个术语的通常意义上的星形。)其他像这样的多面体强调多面体的边缘，本质上是作为多面体的刚性棒状模型。它们类似于达芬奇为演示使用新兴的透视法绘制多面体的技术而绘制的图纸。
除了是美丽的物体外，许多可以用折纸制作的多面体都暗示了有趣的数学问题。作为一个简单的例子，人们可以用六个单元的折纸片来制作一个立方体。如果这六块纸都是相同的颜色，那么人们只能制作一种 “类型 “的彩色立方体。假设一个人有三种颜色的面板和三种颜色的面板。你能做出多少个不相等的立方体？
下面的图表显示了一个基于托马斯赫尔的想法，由乔吉拉迪折叠的折纸结构。在数学层面上，人们看到的是由美元钞票折叠而成的嵌套四面体集合(图22)。许多人还看到了一件艺术品!
图22：经乔·吉拉迪许可使用。(乔·吉拉迪提供)
在上面的讨论中，我已经描述了数学和艺术之间联系的冰山一角。这些联系对数学和艺术都有好处，并将继续发展和繁荣。
沟通艺术与数学的世界
一段时间以来，有一个名为 “Bridges “的组织，其目标是促进艺术和数学之间的联系。Bridges 组织有一个年度会议，并在网上发布会议上的许多会谈记录，其中包括许多受到数学启发的艺术样本，以及帮助艺术家使用数学的主题。美国数学学会多年来一直在其年度联合数学会议上赞助基于数学的艺术（包括纺织品）展览。这包括为在联席会议上展出的最佳艺术作品设立一个 “评委 “奖制度。这个展览与Bridges 组织一起继续创造激励和兴趣，以培养数学家艺术家和受数学启发的艺术。
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连接艺术和数学的文献尤其分散且多样。这里所列举的只是作为一个小样本。有许多与此相关的在线网站，特别是Bridges网站。
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用户评论
鹿叹
数学和艺术居然还能连接起来，这真是个有趣的发现啊！我一直觉得数学家都是逻辑严密的人，艺术家则是充满想象力，没想到两者之间还有这么深的联系。
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墨城烟柳
数学与艺术？这标题让我好奇了，数学家们到底是如何用数学去创作艺术的呢？期待看到更多相关的内容。
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若他只爱我。
数学和艺术？我觉得这两个领域看似风马牛不相及，但看完这篇博文，我发现我可能真的小看了数学的力量。
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怀念·最初
数学家和艺术家连接起来，这让我想起了小时候对数学和艺术的热爱，希望这篇文章能让我重新燃起对它们的热情。
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月下独酌
数学与艺术，这标题好吸引人啊！我一直觉得数学很枯燥，没想到艺术家们也能从中找到灵感。
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反正是我
数学家与艺术家，两个截然不同的领域，竟然能产生如此美妙的火花，这让我对他们的合作充满了期待。
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旧事酒浓
数学和艺术，这两个领域对于我来说一直是神秘的，但看到这篇博文，我觉得自己对这些领域有了新的认识。
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慑人的傲气
数学与艺术，这标题让我想起了小时候画画时，老师说过的话：“艺术来源于生活，生活又高于生活。”也许数学也是如此吧。
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开心的笨小孩
数学家和艺术家连接起来，这让我对数学产生了浓厚的兴趣，也许我也可以尝试用数学的眼光去看待艺术。
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栀蓝
数学与艺术，这个组合真是太奇妙了！我之前一直认为数学很枯燥，但没想到艺术家们能从中找到乐趣。
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南宫沐风
数学家与艺术家，两个看似无关的领域，竟然能产生如此美妙的化学反应，这让我对他们的合作充满了敬意。
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晨与橙与城
数学和艺术，这两个领域居然能相互影响，这让我对数学家们和艺术家们产生了深深的敬佩。
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灵魂摆渡人
数学与艺术，这标题让我对这两个领域有了新的认识，也许我以后可以尝试将它们结合起来。
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焚心劫
数学家和艺术家连接起来，这让我想起了自己的大学生活，那时候我对这两个领域都充满了热情。
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发呆
数学与艺术，这个组合真是太神奇了！我之前一直认为数学很枯燥，但没想到艺术家们能从中找到乐趣。
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封心锁爱
数学家与艺术家，这两个领域之间的联系让我对他们的合作充满了期待，希望看到更多有趣的内容。
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莫飞霜
数学和艺术，这两个领域对于我来说一直是神秘的，但看完这篇博文，我觉得自己对这些领域有了新的认识。
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把孤独喂饱
数学与艺术，这标题让我想起了小时候画画时，老师说过的话：“艺术来源于生活，生活又高于生活。”也许数学也是如此吧。
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