线性代数的意义和价值，线性代数的意义和用法

线性代数是用来做什么的？ 这个问题在大多数国内线性代数的教科书中没有被理解。

要澄清这个问题，需要运用公理化的数学思想。

线性代数被用于绘制线性空间。

线性空间理论为什么重要，是因为线性空间有一个特别好的结构，线性空间中的任何元素都可以用其基底表示线性。

这个性质非常重要，这意味着只有找到线性空间的基才能表示线性空间的所有元素。

同时，在物理上，线性空间的任意要素是可以分解为其基底的线性组合。

这样，很容易认为三维线性空间的任意向量可以用a=xi yj zk来表示。 另外，像幂级数和傅立叶级数这样的无限级数也很容易考虑。 物理上，你能想到波，对吧？ 是两个波浪的叠加还是波浪？ 然后也可以对波浪进行傅立叶分析吧。 因此，线性空间这一优良性质可以用抽象的形式表达广泛的数学和物理学概念。

将满足线性组合的这一性质抽象为8个公理，给出了线性空间的概念。 有了线性空间的概念，我们就知道线性方程组的解空间是线性空间，欧氏空间是线性空间，而幂级数和傅里叶级数组成的空间也是线性空间。

同样由物理波构成的空间也是线性空间。

同样电磁场也是线性空间，例如静电场也可以用傅里叶法分解。

对于矩阵也是如此，矩阵的意思是画线性变换。

线性变换也有很好的性质。 根据这一性质，我们发现微分和积分都是与矩阵相同的线性变换。

还有常用的基变换和坐标变换也是如此。

然后学习线性代数的时候，有矩阵的特征值和特征向量这一章，对吧？ 由于矩阵描绘了线性变换，因此线性变换也可以具有特征值和特征向量，如果存在该特征向量是其作用的线性空间的标准正交基的特殊的线性变换，则我们可以使用特征向量来构建线性变换作用的线性空间。

由于微分和积分是线性变换，可以给出微分方程和积分方程的一般解。 一般解是线性空间的任意元素用基向量线性表示。

量子力学的理论也是这样构成的。

所以线性代数到底说了什么？ 其实谈线性空间与线性变换、线性空间与线性变换，给出了一个将几何、分析、代数统一在此框架下的框架，甚至物理学的波动理论、电磁场理论和量子力学理论都可以统一在线性空间的框架下。